L'essenza e i metodi di estrapolazione

La parola composta "estrapolazione" è composta da due semplici parole. Il primo in latino sembra extra e significa "fuori", "per", "fuori". Il secondo nello stesso latino suona polire e significa "cambiamento", "raddrizzare", "liscio". In generale, l'estrapolazione può essere definita come un valore esterno a due punti dati. È considerata una valutazione di ciò che viene estratto da fatti noti che espandono i dati in un'area sconosciuta per arrivare al risultato desiderato. Questo concetto può anche essere attribuito alla previsione dell'immagine del futuro, assumendo la verità delle tendenze presenti e passate.

Il metodo di estrapolazione presuppone che i dati o le osservazioni in futuro continueranno ad essere simili. Pertanto, i risultati futuri possono essere previsti. Può essere considerata un'ipotesi matematica. L'estrapolazione utilizza i dati e i fatti di una situazione specifica e fornisce previsioni su ciò che potrebbe accadere alla fine.

Storia di estrapolazione

Questo metodo viene spesso definito estrapolazione di Richardson o metodo di Romberg. Ma questo non è del tutto corretto, poiché per secoli ci sono stati metodi numerici simili per risolvere tali problemi. Pertanto, il famoso Richardson h2 (estrapolazione per una soluzione numerica) non è il primo. Un metodo simile era applicabile nei calcoli di Huygens già nel 1654. Il termine "estrapolazione" stesso fu coniato per la prima volta da Thomas D. Clareson nel 1959 in un libro su scienza e finzione.

I metodi di estrapolazione possono essere intesi come l'estensione di dati o processi, suggerendo che un processo simile verrà applicato al di fuori di essi. L'estrapolazione è un concetto importante utilizzato non solo in matematica, ma anche in altri settori, come la sociologia, la psicologia, la previsione. Ad esempio, un conducente di solito estrapola le condizioni di guida al di fuori della sua visione. L'estrapolazione può essere attribuita a un metodo in cui i valori dei dati sono considerati punti x1, x2 ..., xn e quindi il valore si avvicina al limite di un determinato intervallo di punti.

Vantaggi dell'uso:

1. Un semplice metodo di previsione.
2. Non sono richiesti molti dati.
3. Analisi rapida ed economica.

Il metodo esiste nelle statistiche. Se qualche valore viene periodicamente rimosso, la risposta si avvicina al successivo punto dati. Un esempio di un metodo di estrapolazione è una previsione meteorologica, che esamina lo sfondo dei dati ed estrapola il modello previsto per il futuro. Un esempio ancora più semplice, se disponi di informazioni su domenica, lunedì e martedì, puoi estrapolare mercoledì o giovedì.

Svantaggi dell'utilizzo dell'estrapolazione:

1. Inaffidabilità, se ci sono fluttuazioni significative nei dati storici.
2. L'ipotesi che la tendenza passata continuerà in futuro è quasi impossibile in molti ambienti aziendali competitivi.
3. Ignora i fattori di qualità, come i cambiamenti nei gusti e nella moda.

Accelerazione della sequenza

I metodi di estrapolazione consistono nel creare una linea tangente alla fine dei dati noti ed espanderla oltre quest'area. Come l'interpolazione, l'estrapolazione utilizza molti metodi che richiedono una conoscenza preliminare del processo che crea i punti dati esistenti. Il metodo include l'estrapolazione lineare e polinomiale, l'estrapolazione conica e la curva francese.

Di norma, la qualità di un particolare metodo è limitata da ipotesi sulla funzione. Nell'analisi numerica, l'estrapolazione di Richardson è un metodo di accelerazione di sequenza utilizzato per migliorare il tasso di convergenza.Prende il nome da Lewis Fry Richardson. Ha introdotto la tecnica di calcolo all'inizio del 20 ° secolo, la cui utilità per i calcoli pratici non può essere sopravvalutata.

Le applicazioni pratiche dell'estrapolazione di Richardson includono l'integrazione di Romberg, che la applica alla regola del trapezio e all'algoritmo Bulliers-Stoehr per risolvere le normali equazioni differenziali.

Metodo lineare

Il metodo di estrapolazione lineare è utile quando viene specificata una funzione lineare. Questo viene fatto disegnando una linea tangente nel punto finale di un dato grafico e espandendolo oltre. Questo metodo di estrapolazione nella previsione fornisce buoni risultati quando il punto da prevedere non è troppo lontano dai dati. L'interpolazione lineare è utile per trovare valori tra punti dati. Può essere considerato come "colmare le lacune" della tabella dei dati.

Una strategia di interpolazione lineare consiste nell'utilizzare una linea retta per collegare punti di valori noti su entrambi i lati dell'ignoto. L'interpolazione lineare non è precisa per i parametri non lineari. Se i punti nel set di dati cambiano di molto, l'interpolazione lineare può fornire una stima errata.

L'estrapolazione lineare può aiutare a stimare valori più alti o più bassi dei valori nel set di dati. La sua strategia è quella di utilizzare un sottoinsieme di dati anziché l'intero set. Per questo tipo di valore, è utile applicare il metodo di estrapolazione nella previsione utilizzando gli ultimi due o tre punti per stimare un valore che supera l'intervallo di dati.

Estrapolazioni polinomiali e coniche

È noto che tre punti danno un polinomio unico. Una curva polinomiale può essere continuata dopo la fine di tali dati. Di solito viene eseguito con il metodo Newton con una differenza finita o usando la formula di interpolazione di Lagrange. Un polinomio di ordine superiore dovrebbe essere estrapolato con la dovuta cura, poiché esiste un'equa possibilità di errore con l'estrapolazione polinomiale. In tal caso, la stima dell'errore aumenterà in modo esponenziale con il grado del polinomio.

In matematica, l'estrapolazione polinomiale minima è una trasformazione di sequenza utilizzata per accelerare la convergenza. Sebbene il metodo di Aitken sia più noto, spesso fallisce, specialmente per le sequenze vettoriali. In questo caso, viene eseguita un'iterazione che costruisce la matrice. Le sue colonne sono differenze.

Ad esempio, un metodo di estrapolazione per una sezione conica può essere realizzato utilizzando 5 punti indicati vicino alla fine dei dati. Nel caso in cui la sezione conica sia un cerchio o un'ellisse, quindi tornerà indietro e si riunirà con se stessa. Parabola o iperbole non si intersecano mai. Ma possono essere piegati all'indietro attorno all'asse X. L'estrapolazione del cono può essere eseguita su carta con una sezione conica o utilizzando un computer.

Metodo di valutazione matematica

In questo metodo di estrapolazione, è previsto il valore per il periodo base. Le azioni descritte di seguito vengono eseguite automaticamente dal sistema e non sono visibili all'utente. La descrizione intende perfezionare l'algoritmo, che visualizza i valori previsti dalla quantità memorizzata nel sistema e prevede il risultato della misurazione del misuratore.

L'estrapolazione usando la definizione della quantità della procedura viene eseguita usando la funzione: Yt = f (yi, t, aj).

Come base per l'estrapolazione, vengono aggiunti i dati arrotondati di un tipico periodo base memorizzato nei risultati di lettura. Il sistema determina il peso Yt dei dati delle serie temporali in t (tempo del periodo di previsione) per ottenere la soluzione corretta mediante estrapolazione. Dove nel punto di riferimento vengono presi yi - il livello della serie e aj - il parametro dell'equazione di tendenza.

Previsione delle funzioni

Il metodo di fissaggio di una curva statistica è applicabile alla previsione delle funzionalità.Le procedure statistiche corrispondono ai dati passati di una o più funzioni matematiche, come lineare, logaritmica, di Fourier o esponenziale. I migliori sono selezionati da un test statistico. Quindi questa previsione viene estrapolata da questa connessione matematica con il metodo dell'estrapolazione matematica. Uno dei modi più semplici per ottenere stime approssimative delle condizioni future (o passate) è estrapolare i dati che cambiano nel tempo.

Ad esempio, se è necessario effettuare una valutazione approssimativa dei livelli futuri di inquinanti nell'acqua potabile con 20 anni di anticipo, è possibile estrapolare questa tendenza dagli ultimi 20 anni. Lo stesso si osserva se in futuro è necessario stimare la prevalenza del fumo o del cancro ai polmoni in background. È possibile effettuare una previsione calcolando le tendenze negli ultimi anni. Estrapolazioni di questo tipo possono essere fatte usando metodi meno complessi. In molti casi (specialmente nelle aree del marketing e della gestione aziendale), il metodo di estrapolazione viene tradizionalmente utilizzato, ad esempio, visualizzando i dati più recenti e valutando in modo intuitivo cosa si intende in futuro.

I metodi basati su regole possono anche essere utilizzati applicando una serie di principi o aspettative predefiniti basati su una comprensione preliminare del sistema e prendendo in considerazione i dati più recenti per interpretare gli eventi futuri.

Con qualsiasi metodo di estrapolazione, la cautela è importante a causa della presenza di numerose incertezze. Qualsiasi procedura di estrapolazione si basa sul presupposto che siano disponibili informazioni affidabili in dati e conoscenze precedenti. Di conseguenza, il futuro è determinato dagli stessi fattori che hanno agito in precedenza.

Errori di previsione

L'errore dell'estrapolazione (più precisamente, l'errore dell'estrapolazione ingiustificata) si verifica quando il fenomeno responsabile di una serie di effetti locali banali viene letto come grandi fenomeni globali. Un altro motivo dell'errore è che a volte le regole generalizzate sono dedotte da troppi fatti. Pertanto, la teoria dell'evoluzione di Darwin è un fantastico esempio dell'applicazione del metodo di estrapolazione, in cui i meccanismi di cambiamenti casuali e selezione naturale sono annunciati per tenere conto dello sviluppo di strutture complesse come la visione dei mammiferi o il sistema immunitario degli organismi viventi.

Nel tentativo di interpretare i risultati della ricerca, lo scienziato dovrebbe evitare l'estrapolazione al di fuori dell'intervallo di dati ed essere consapevole delle ipotesi sottostanti al fine di evitare di accettare conclusioni non valide. In generale, l'estrapolazione è uno strumento scientifico legittimo. Esistono due aspetti che aiutano a distinguere tra estrapolazione valida ed errata. La probabilità di estrapolazione errata è maggiore quando si ottengono punti per dati insufficienti per la sua costruzione.

Strumenti statistici di Excel

Per trovare una correlazione tra anni e risultati (ad esempio in un'azienda), è possibile utilizzare Excel.

Per queste attività, vengono utilizzati strumenti statistici per la modellazione di estrapolazione incorporati in tutte le versioni di Excel, a partire da 97. Procedura:

1. Immettere i valori noti, ad esempio le vendite totali per il 2016-2017, se è necessario determinarli per il 2018 e il 2020.
2. Installa Analysis, una funzionalità che richiede l'uso di un componente aggiuntivo.
3. Per installarlo, estrarre dal menu "Strumenti", "Componenti aggiuntivi".
4. Controllare la finestra dell'utilità di analisi e confermare con "OK".
5. Misurare le correlazioni tra due serie.
6. L'estrapolazione che deve essere fatta ha senso solo se esiste una chiara tendenza (correlazione) tra le due serie di numeri (anni e vendite) per mezzo del metodo di estrapolazione delle tendenze.
7. Per misurare questa correlazione, utilizzare il menu "Strumenti", "Utilità di analisi".
8. Nell'elenco "Strumenti di analisi" selezionare "Analisi di correlazione" e fare clic su "OK".
9. Nel campo Intervallo di input immettere l'intervallo analizzato, ad esempio A6: B18, Excel aggiungerà il simbolo "$".
10. Nell'area "Opzioni di output", controlla l'intervallo di output e inseriscilo nel campo adiacente.
11. Confermare con OK.
12. Excel crea una matrice di due righe in due colonne. Trova il valore calcolato (ad esempio 0,981). Poiché questo valore è vicino a 1, ciò significa che esiste una forte correlazione tra anni e cifre delle vendite. Se l'utente riceve un valore vicino a zero, ciò significa che la tendenza non si verifica. In questo caso, l'estrapolazione non ha senso.
13. Inizia una valutazione dei valori futuri.
14. Selezionare l'intervallo richiesto e fare clic sul pulsante "Creazione guidata grafico".
15. Seleziona un grafico (ad esempio nuvole di punti) e fai clic su Fine.

L'uso di medie mobili

Questi due metodi di estrapolazione prevedono l'uso diffuso dei dati di vendita per prevedere il futuro. Il valore della media mobile prende una serie di dati e "attenua" le fluttuazioni in essi. L'obiettivo è quello di estrarre estremi di dati da un periodo all'altro. Le medie mobili sono spesso calcolate trimestralmente o settimanalmente. Per prevedere i valori futuri, l'estrapolazione comporta l'uso di tendenze stabilite da dati storici. Il presupposto principale dell'estrapolazione è che il campione continuerà in futuro, a meno che prove concrete non indichino diversamente. Per comprendere questi metodi in modo più dettagliato, puoi prendere in considerazione un grafico che mostra le vendite di gadget per le grandi aziende dal 2012 al 2015.

Questo metodo di estrapolazione del calcolo mostra la cifra effettiva delle vendite. Come puoi vedere, l'ammontare totale delle vendite varia di anno in anno, anche se puoi indovinare (guardando i dati) che esiste una tendenza generale per la crescita delle vendite. La linea nera mostra la media mobile. Questo viene calcolato aggiungendo gli ultimi anni di vendite (ad esempio Q1 + Q2 + Q3 + Q4) e quindi dividendo per quattro.

Questo metodo attenua le modifiche annuali e dà una buona idea dell'andamento generale delle vendite annuali. Una media mobile aiuta a indicare un trend di crescita, espresso in percentuale. È questa estrapolazione che verrà utilizzata per prima per prevedere il percorso delle vendite future. Questo può essere fatto matematicamente usando un foglio di calcolo. In alternativa, una tendenza estrapolata può essere semplicemente disegnata su un grafico come stima approssimativa.

Correlazione di tendenza

Sempre una tecnologia è il precursore di un'altra. Ciò accade quando i progressi compiuti nella tecnologia dei precursori possono essere adottati dalla tecnologia dei follower. Quando esistono tali relazioni, la conoscenza dei cambiamenti nella tecnologia dei predecessori può essere utilizzata per prevedere i progressi dei seguaci della tecnologia in futuro. Inoltre, l'estrapolazione del precursore consente di prevedere la continuazione del follow oltre il ritardo.

In questo caso, viene utilizzato il metodo di estrapolazione delle tendenze, in cui, ad esempio, vengono confrontate le tendenze della velocità degli aerei militari e di trasporto. Un altro esempio di previsione della correlazione di tendenza è la previsione delle dimensioni e della potenza dei futuri computer basati sui progressi della tecnologia microelettronica. A volte la tecnologia dei follower dipende da diverse tecnologie di precursori, ma non da un predecessore.

Le combinazioni fisse di predecessori possono influenzare il cambiamento nella sequenza, ma più spesso le combinazioni non sono fisse e gli input dei predecessori differiscono sia per combinazione che per intensità. Ad esempio, un aumento della velocità degli aeromobili può verificarsi a causa del miglioramento di motori, materiali, controlli, carburante, aerodinamica e varie combinazioni di questi fattori.

Un esempio di previsione di correlazione ottenuta estrapolando le tendenze: miglia totali passeggeri, miglia geografiche totali e potenza di atterraggio media.L'estrapolazione di tendenze statisticamente determinate consente un approccio oggettivo alla previsione. Tuttavia, questo approccio presenta gravi limiti e insidie. Eventuali errori o scelte errate nella determinazione dei dati storici verranno riflessi nella previsione, il che ne riduce il valore.

Applicazioni, attributi e limiti

Il metodo di estrapolazione appartiene al campo della previsione. Suggerisce che gli schemi esistenti nel passato continueranno nel futuro e che tali schemi sono regolari e possono essere misurati. In altre parole, il passato è un buon indicatore del futuro. Le applicazioni sono utili per lo sviluppo di dati di base.

Attributi e limiti sono strumenti di calcolo semplici ed economici, nonché modelli teorici complessi.

1. Dati di processo - grafici e osservazioni.
2. La chiave è avere un buon database e capire la struttura al suo interno.
3. La tecnica è la misura migliore, il rapporto e così via.

Le procedure statistiche standard temporanee non portano a una selezione accurata delle tendenze che il meteorologo può estrapolare con comodità, eseguendo le previsioni mediante estrapolazione. In tali casi, il meteorologo può "regolare" i risultati statistici usando il giudizio. Può anche ignorare completamente le statistiche ed estrapolare l'intera tendenza in base al giudizio.

Le previsioni generate in questo modo sono meno accurate delle previsioni statistiche, ma non necessariamente insoddisfacenti. Un esempio di tale estrapolazione di un trend di qualità è la previsione della complessità dell'aeromobile. I tentativi di quantificare questa tendenza non hanno avuto successo. Ma la percentuale di parti mobili o regolabili dell'aeromobile è stata estrapolata con la frequenza con cui tali elementi sono stati introdotti in passato. Queste previsioni erano abbastanza precise.

Modifiche tecniche specifiche non possono essere previste in questo modo, ma il grado di modifica può esserlo. Ciò fornisce utili materiali di pianificazione, indicando una tendenza nel comportamento passato.