Wielowymiarowa analiza wariancji

Analiza wariancji jest zbiorem metod statystycznych zaprojektowanych do testowania hipotez dotyczących związku między niektórymi znakami i badanymi czynnikami, które nie mają opisu ilościowego, a także do ustalenia stopnia wpływu czynników i ich interakcji. W literaturze specjalistycznej często nazywa się to ANOVA (od angielskiej nazwy Analysis of Variations). Metodę tę po raz pierwszy opracował R. Fisher w 1925 r.

Rodzaje i kryteria analizy wariancji

Ta metoda służy do badania związku między atrybutami jakościowymi (nominalnymi) a zmienną ilościową (ciągłą). W rzeczywistości testuje hipotezę, że średnia arytmetyczna kilku próbek jest równa. Można go zatem uznać za parametryczne kryterium porównywania centrów kilku próbek jednocześnie. Jeśli zastosujesz tę metodę do dwóch próbek, wówczas wyniki analizy wariancji będą identyczne z wynikami testu t-studenta. Jednak w przeciwieństwie do innych kryteriów badanie to pozwala nam bardziej szczegółowo zbadać problem.

Analiza wariancji w statystykach opiera się na prawie: suma kwadratów odchyleń próbki łącznej jest równa sumie kwadratów odchyleń wewnątrzgrupowych i sumy kwadratów odchyleń międzygrupowych. W badaniu zastosowano test Fishera, aby ustalić istotność różnicy między wariancjami międzygrupowymi od wariancji wewnątrzgrupowych. Jednak do tego niezbędnymi warunkami wstępnymi są normalny rozkład i homoskedastyczność (równość wariancji) próbek. Rozróżnij jednowymiarową (jednoczynnikową) analizę wariancji i wielowymiarową (wielowymiarową). Pierwszy uwzględnia zależność badanej ilości od jednego atrybutu, drugi - od razu od wielu, a także pozwala zidentyfikować związek między nimi.

Czynniki

Czynniki nazywane są kontrolowanymi okolicznościami, które wpływają na wynik końcowy. Jego poziom lub metoda przetwarzania nazywana jest wartością, która charakteryzuje określoną manifestację tego stanu. Liczby te są zwykle podawane w skali nominalnej lub szeregowej. Często wartości wyjściowe są mierzone w skalach ilościowych lub porządkowych. Następnie pojawia się problem grupowania danych wyjściowych w szeregu obserwacji, które odpowiadają w przybliżeniu takim samym wartościom liczbowym. Jeśli przyjmuje się, że liczba grup jest zbyt duża, liczba obserwacji w nich może być niewystarczająca, aby uzyskać wiarygodne wyniki. Jeśli liczba ta będzie zbyt mała, może to doprowadzić do utraty istotnych cech wpływu na system. Konkretny sposób grupowania danych zależy od wielkości i charakteru zmian wartości. Liczba i wielkość przedziałów w analizie jednokierunkowej jest najczęściej określana przez zasadę równych przedziałów lub zasadę równych częstotliwości.

Analiza problemów wariancyjnych

Są więc przypadki, w których trzeba porównać dwie lub więcej próbek. W takim przypadku wskazane jest zastosowanie analizy wariancji. Nazwa metody wskazuje, że wnioski z wyciągniętych wniosków pochodzą z badania składników wariancji. Istotą badania jest to, że ogólna zmiana wskaźnika jest podzielona na części składowe, które odpowiadają działaniu poszczególnych czynników. Rozważ szereg problemów, które rozwiązuje typowa analiza wariancji.

Przykład 1

W warsztacie znajduje się wiele obrabiarek - automatów produkujących określoną część. Rozmiar każdej części jest wartością losową, która zależy od ustawień każdej maszyny i przypadkowych odchyleń, które występują podczas produkcji części.Konieczne jest ustalenie, czy maszyny są równo skonfigurowane zgodnie z pomiarami wymiarów części.

Przykład 2

Podczas produkcji urządzenia elektrycznego stosuje się różne rodzaje papieru izolacyjnego: skraplacz, elektryczny itp. Aparat można impregnować różnymi substancjami: żywicą epoksydową, lakierem, żywicą ML-2 itp. Wycieki można usunąć pod próżnią pod wysokim ciśnieniem, przez ogrzewanie. Można go impregnować przez zanurzenie w lakierze, pod ciągłym strumieniem lakieru itp. Aparat elektryczny jako całość wylewa się z pewnym związkiem, którego jest kilka opcji. Wskaźniki jakości to wytrzymałość dielektryczna izolacji, temperatura przegrzania uzwojenia w trybie roboczym i wiele innych. Podczas testowania procesu technologicznego wytwarzania urządzeń konieczne jest określenie, w jaki sposób każdy z wymienionych czynników wpływa na działanie aparatu.

Przykład 3

Zajezdnia trolejbusu obsługuje kilka tras trolejbusowych. Pracują dla nich różne typy trolejbusów, a kolekcję opłat pobiera 125 kontrolerów. Zarząd zajezdni jest zainteresowany pytaniem: jak porównać wyniki ekonomiczne każdego kontrolera (przychodu), biorąc pod uwagę różne trasy, różne typy trolejbusów? Jak ustalić ekonomiczną wykonalność zwolnienia określonego rodzaju trolejbusu na określonej trasie? Jak ustalić rozsądne wymagania dotyczące kwoty przychodów, które przewodnik przynosi na każdej trasie w różnych typach trolejbusów?

Zadaniem wyboru metody jest uzyskanie maksymalnych informacji dotyczących wpływu na końcowy wynik każdego czynnika, określenie liczbowych cech takiego efektu, ich niezawodności przy najniższym koszcie i w możliwie najkrótszym czasie. Rozwiązuj takie problemy, pozwalając na metody analizy wariancji.

Analiza jednokierunkowa

Badanie ma na celu ocenę wielkości wpływu konkretnego przypadku na analizowany przegląd. Kolejnym zadaniem analizy jednokierunkowej może być porównanie dwóch lub więcej okoliczności w celu ustalenia różnicy ich wpływu na wycofanie. Jeśli hipoteza zerowa zostanie odrzucona, następnym krokiem będzie ocena ilościowa i konstrukcja przedziałów ufności dla uzyskanych cech. W przypadku gdy hipoteza zerowa nie można go odrzucić, zwykle jest akceptowany i wyciąga się wnioski na temat istoty wpływu.

Jednowymiarowa analiza wariancji może stać się nieparametrycznym analogiem metody rangowej Kraskela-Wallisa. Został on opracowany przez amerykańskiego matematyka Williama Kraskela i ekonomistę Wilsona Wallisa w 1952 r. Kryterium to przypisano do przetestowania zerowej hipotezy, że wpływ na badane próbki jest równy z nieznanymi, ale jednakowymi wartościami średnimi. Liczba próbek powinna być większa niż dwie.

Kryterium Jonkhiera (Jonkhier-Terpstra) zaproponowało niezależnie holenderski matematyk T.J. Terpstrom w 1952 r. I brytyjski psycholog E.R. Jonkhier w 1954 r. Stosuje się je, gdy wiadomo z góry, że dostępne grupy wyników są uporządkowane według wzrost wpływu badanego czynnika mierzony w skali porządkowej.

M - test Bartletta, zaproponowany przez brytyjskiego statystyka Maurice'a Stevensona Bartletta w 1937 r., Służy do testowania zerowej hipotezy o równości wariancji kilku normalnych populacji ogólnych, z których pobrano badane próbki, ogólnie o różnych objętościach (liczba każdej próbki powinna wynosić co najmniej cztery )

G jest testem Cochrena, który został odkryty przez amerykańskiego Williama Gemmela Cochrena w 1941 r. Służy do testowania zerowej hipotezy, że wariancje normalnych populacji ogólnych są równe dla niezależnych próbek o jednakowej objętości.

Nieparametryczne kryterium Levene'a zaproponowane przez amerykańskiego matematyka Howarda Levene'a w 1960 roku jest alternatywą dla kryterium Bartletta w warunkach, w których nie ma pewności, że badane próbki są zgodne z rozkładem normalnym.

W 1974 r. Amerykańscy statystycy Morton B. Brown i Alan B. Forsyth zaproponowali test (kryterium Browna-Forsythe'a), który nieco różni się od kryterium z Leuven.

Analiza dwuskładnikowa

Dwukierunkowa analiza wariancji jest stosowana dla połączonych normalnie rozłożonych próbek. W praktyce często stosuje się złożone tabele tej metody, w szczególności te, w których każda komórka zawiera zestaw danych (powtarzane pomiary) odpowiadających ustalonym wartościom poziomu. Jeśli założenia niezbędne do zastosowania dwukierunkowej analizy wariancji nie zostaną spełnione, wówczas zastosowane zostanie nieparametryczne kryterium rangi Friedmana (Friedman, Kendall i Smith) opracowane przez amerykańskiego ekonomistę Miltona Friedmana pod koniec 1930 r. Kryterium to jest niezależne od rodzaju rozkładu.

Zakłada się tylko, że rozkład wielkości jest taki sam i ciągły oraz że są one niezależne od siebie. Podczas testowania hipotezy zerowej dane wyjściowe są prezentowane w postaci prostokątnej macierzy, w której rzędy odpowiadają poziomom czynnika B, a kolumny odpowiadają poziomom A. Każda komórka tabeli (bloku) może być wynikiem pomiarów parametrów jednego obiektu lub grupy obiektów przy stałych wartościach poziomów obu czynników . W takim przypadku odpowiednie dane są podawane jako średnie wartości określonego parametru dla wszystkich pomiarów lub obiektów badanej próbki. Aby zastosować kryterium danych wyjściowych, konieczne jest przejście z bezpośrednich wyników pomiarów do ich rangi. Ranking jest przeprowadzany dla każdego wiersza osobno, tzn. Wartości są uporządkowane dla każdej stałej wartości.

Kryterium strony (kryterium L) zaproponowane przez amerykańskiego statystykę E. B. Pagea w 1963 r. Ma na celu przetestowanie hipotezy zerowej. W przypadku dużych próbek stosuje się przybliżenie strony. Zależnie od rzeczywistości odpowiadających hipotez zerowych przestrzegają standardowego rozkładu normalnego. W przypadku, gdy wiersze tabeli źródłowej mają takie same wartości, konieczne jest użycie średnich rang. Co więcej, dokładność wniosków będzie tym gorsza, im więcej będzie takich zbiegów okoliczności.

Q jest kryterium Cochrena zaproponowanym przez V. Cohrena w 1937 r. Jest ono stosowane w przypadkach, w których grupy homogenicznych osobników są narażone na więcej niż dwie i dla których możliwe są dwie odpowiedzi - warunkowo negatywne (0) i warunkowo pozytywne (1) . Hipoteza zerowa składa się z równych efektów wpływu. Dwukierunkowa analiza wariancji pozwala ustalić istnienie efektów przetwarzania, ale nie pozwala ustalić, dla których kolumn ten efekt istnieje. Aby rozwiązać ten problem, stosuje się metodę wielu równań Sheffe'a dla połączonych próbek.

Analiza wielowymiarowa

Zadanie wielowymiarowej analizy wariancji powstaje, gdy konieczne jest określenie wpływu dwóch lub więcej warunków na pewną zmienną losową. Badanie przewiduje obecność jednej zależnej zmiennej losowej, mierzonej w skali różnicy lub relacji, oraz kilku zmiennych niezależnych, z których każda wyrażona jest w skali nazw lub w rankingu. Analiza danych wariancji jest dość rozwiniętą sekcją statystyki matematycznej, która ma wiele opcji. Koncepcja badań jest wspólna zarówno dla pojedynczego czynnika, jak i dla wielu czynników. Jego istotą jest to, że całkowita wariancja jest podzielona na komponenty, co odpowiada pewnemu grupowaniu danych. Każda grupa danych ma swój własny model.Rozważymy tutaj tylko podstawowe przepisy niezbędne do zrozumienia i praktycznego wykorzystania najczęściej używanych opcji.

Analiza wariancji czynników wymaga raczej ostrożnego podejścia do gromadzenia i prezentacji danych wejściowych, a zwłaszcza interpretacji wyników. W przeciwieństwie do jednoczynnikowego, którego wyniki można dowolnie umieścić w określonej sekwencji, wyniki dwuskładnikowe wymagają bardziej złożonej reprezentacji. Jeszcze trudniejsza sytuacja powstaje, gdy występują trzy, cztery lub więcej okoliczności. Z tego powodu w modelu rzadko występują więcej niż trzy (cztery) warunki. Przykładem jest występowanie rezonansu przy określonej wartości pojemności i indukcyjności koła elektrycznego; przejaw reakcji chemicznej z pewnym zestawem pierwiastków, z których zbudowany jest system; występowanie anomalnych efektów w złożonych układach z pewnym zbiegiem okoliczności. Obecność interakcji może zasadniczo zmienić model systemu, a czasem może doprowadzić do ponownego przemyślenia natury zjawisk, z którymi ma do czynienia eksperymentator.

Wielowymiarowa analiza wariancji z powtarzanymi eksperymentami

Dane pomiarowe często można pogrupować nie według dwóch, ale według większej liczby czynników. Tak więc, jeśli weźmiemy pod uwagę analizę wariancji żywotności opon kół trolejbusu biorąc pod uwagę okoliczności (producenta i trasę, na której opony są eksploatowane), wówczas możemy wyróżnić sezon, w którym opony są eksploatowane (a mianowicie eksploatacja zimowa i letnia) jako osobny warunek. W rezultacie będziemy mieli do czynienia z metodą trzyczynnikową.

Jeśli jest więcej warunków, podejście jest takie samo jak w analizie dwuskładnikowej. We wszystkich przypadkach starają się uprościć model. Zjawisko interakcji dwóch czynników nie objawia się tak często, a potrójna interakcja występuje tylko w wyjątkowych przypadkach. Obejmują one interakcję, dla której istnieją wcześniejsze informacje i dobre powody, aby wziąć to pod uwagę w modelu. Proces izolowania poszczególnych czynników i ich uwzględniania jest stosunkowo prosty. Dlatego często istnieje potrzeba podkreślenia większej liczby okoliczności. Nie należy tego zabierać. Im więcej warunków, tym mniej wiarygodny staje się model i tym większe prawdopodobieństwo błędu. Sam model, który obejmuje dużą liczbę niezależnych zmiennych, staje się wystarczająco trudny do interpretacji i niewygodny z praktycznego punktu widzenia.

Ogólna idea analizy wariancji

Analiza wariancji w statystyce jest metodą uzyskiwania wyników obserwacji zależnych od różnych jednocześnie istniejących okoliczności i oceny ich wpływu. Kontrolowana zmienna, która odpowiada metodzie wpływania na przedmiot badań i po pewnym czasie nabywa określoną wartość, nazywana jest czynnikiem. Mogą być jakościowe i ilościowe. Poziomy warunków ilościowych uzyskują określoną wartość w skali numerycznej. Przykładami są temperatura, ciśnienie, ilość substancji. Czynnikami jakościowymi są różne substancje, różne metody technologiczne, urządzenia, wypełniacze. Ich poziomy odpowiadają skali nazw.

Jakość może również obejmować rodzaj materiału opakowaniowego, warunki przechowywania postaci dawkowania. Racjonalne jest również przypisywanie stopnia zmielenia surowców, ułamkowego składu granulek, które mają znaczenie ilościowe, ale trudno je kontrolować, jeśli stosuje się skalę ilościową. Liczba czynników jakości zależy od rodzaju postaci dawkowania, a także właściwości fizycznych i technologicznych substancji leczniczych. Na przykład tabletki można uzyskać z substancji krystalicznych przez bezpośrednie prasowanie. W takim przypadku wystarczy dokonać wyboru substancji poślizgowych i smarujących.

Przykłady czynników jakościowych dla różnych rodzajów postaci dawkowania

• Nalewki Skład ekstrahenta, rodzaj ekstraktora, metoda przygotowania surowców, metoda produkcji, metoda filtrowania.
• Ekstrakty (płynne, gęste, suche). Skład ekstrahenta, metoda ekstrakcji, rodzaj instalacji, metoda usuwania ekstrahenta i substancji balastowych.
• Pigułki Skład zaróbek, wypełniaczy, środków rozsadzających, środków wiążących, smarów i środków poślizgowych. Metoda wytwarzania tabletek, rodzaj sprzętu przetwarzającego. Rodzaj skorupy i jej składników, substancje błonotwórcze, pigmenty, barwniki, plastyfikatory, rozpuszczalniki.
• Roztwory wtryskowe. Rodzaj rozpuszczalnika, metoda filtracji, rodzaj stabilizatorów i konserwantów, warunki sterylizacji, metoda napełniania ampułek.
• Czopki Skład bazy czopków, metoda produkcji czopków, wypełniaczy, opakowań.
• Maści Skład bazy, elementy konstrukcyjne, metoda przygotowania maści, rodzaj sprzętu, opakowanie.
• Kapsułki Rodzaj materiału otoczki, metoda produkcji kapsułek, rodzaj plastyfikatora, środek konserwujący, barwnik.
• Mazidła Sposób przygotowania, skład, rodzaj sprzętu, rodzaj emulgatora.
• Zawieszenia Rodzaj rozpuszczalnika, rodzaj stabilizatora, metoda dyspersji.

Przykłady czynników jakościowych i ich poziomów badanych w procesie wytwarzania tabletek

• Proszek do pieczenia. Skrobia ziemniaczana, biała glinka, mieszanina wodorowęglanu sodu z kwasem cytrynowym, zasadowy węglan magnezu.
• Rozwiązanie spoiwa. Woda, pasta skrobiowa, syrop cukrowy, roztwór metylocelulozy, roztwór hydroksypropylometylocelulozy, roztwór poliwinylopirolidonu, roztwór alkoholu poliwinylowego.
• Substancja poślizgowa. Aerosil, skrobia, talk.
• Wypełniacz Cukier, glukoza, laktoza, chlorek sodu, fosforan wapnia.
• Środek smarny Kwas stearynowy, glikol polietylenowy, parafina.

Analiza modeli wariancji w badaniu konkurencyjności państwa

Jednym z najważniejszych kryteriów oceny stanu państwa, które ocenia poziom jego dobrobytu i rozwoju społeczno-gospodarczego, jest konkurencyjność, czyli zestaw właściwości właściwych gospodarce narodowej, które określają zdolność państwa do konkurowania z innymi krajami. Po ustaleniu miejsca i roli państwa na rynku globalnym możemy ustalić jasną strategię zapewnienia bezpieczeństwo ekonomiczne na arenie międzynarodowej, ponieważ jest to klucz do pozytywnych relacji między Rosją a wszystkimi graczami na rynku światowym: inwestorami, wierzycielami, rządami państw.

Aby porównać poziom konkurencyjności krajów, kraje są uszeregowane przy użyciu złożonych wskaźników, które obejmują różne wskaźniki ważone. Podstawą tych wskaźników są kluczowe czynniki wpływające na sytuację gospodarczą, polityczną itp. Zestaw modeli do badania konkurencyjności państwa przewiduje stosowanie wielowymiarowych metod analizy statystycznej (w szczególności analizy wariancji (statystyki), modelowania ekonometrycznego, podejmowania decyzji) i obejmuje następujące główne etapy:

1. Utworzenie systemu wskaźników-wskaźników.
2. Ocena i prognozowanie wskaźników konkurencyjności państwa.
3. Porównanie wskaźników-wskaźników konkurencyjności państw.

Teraz rozważ zawartość modeli każdego z etapów tego kompleksu.

W pierwszym etapie Za pomocą eksperckich metod badawczych powstaje uzasadniony zestaw wskaźników ekonomicznych-wskaźników oceny konkurencyjności państwa, biorąc pod uwagę specyfikę jego rozwoju na podstawie międzynarodowych ocen i danych z departamentów statystycznych, które odzwierciedlają stan systemu jako całości i jego procesy.Wybór tych wskaźników jest uzasadniony potrzebą wybrania tych, które najdokładniej z punktu widzenia praktyki pozwalają określić poziom państwa, jego atrakcyjność inwestycyjną oraz możliwości względnej lokalizacji istniejących potencjalnych i rzeczywistych zagrożeń.

Głównymi wskaźnikami-wskaźnikami międzynarodowych systemów ratingowych są wskaźniki:

1. Globalna konkurencyjność (IGC).
2. Wolność gospodarcza (IES).
3. Rozwój ludzki (HDI).
4. Postrzeganie korupcji (CPI).
5. Zagrożenia wewnętrzne i zewnętrzne.
6. Potencjał wpływów międzynarodowych (IPMV).

Drugi etap Zapewnia ocenę i prognozowanie wskaźników konkurencyjności państwa według międzynarodowych ocen dla 139 badanych krajów świata.

Trzeci etap zapewnia porównanie konkurencyjności państw za pomocą metod analiza korelacji i regresji.

Korzystając z wyników badania, można określić charakter procesów jako całości oraz poszczególne elementy konkurencyjności państwa; przetestować hipotezę wpływu czynników i ich związku z odpowiednim poziom istotności.

Wdrożenie proponowanego zestawu modeli pozwoli nie tylko ocenić obecną sytuację na poziomie konkurencyjności i atrakcyjności inwestycyjnej państw, ale także przeanalizować słabości zarządzania, zapobiec błędom błędnych decyzji i zapobiec rozwojowi kryzysu w państwie.