Сложната дума "екстраполация" е съставена от две прости думи. Първият на латински звучи допълнително и означава „отвън“, „за“, „отвън“. Вторият на същата латиница звучи polire и означава „промяна“, „изправяне“, „гладко“. Като цяло екстраполацията може да бъде определена като стойност извън две дадени точки. Счита се за оценка на това, което се извлича от известни факти, които разширяват данните в непозната област, за да се стигне до планирания резултат. Тази концепция може да се отдаде и на предсказването на образа на бъдещето, като се приеме истинността на настоящите и минали тенденции.
Методът на екстраполация предполага, че данните или наблюденията в бъдеще ще продължат да бъдат подобни. По този начин могат да се предвидят бъдещи резултати. Тя може да се разглежда като математическа хипотеза. Екстраполацията използва данните и фактите за конкретна ситуация и дава прогнози какво може да се случи в крайна сметка.
История на екстраполация
Този метод често се нарича екстраполация на Ричардсън или метод на Ромберг. Но това не е напълно правилно, тъй като от векове съществуват подобни числени методи за решаване на подобни проблеми. Следователно известният Richardson h2 (екстраполация за числово решение) не е първият. Подобен метод е приложим при изчисленията на Хюйгенс още през 1654г. Самият термин "екстраполация" е въведен за първи път от Томас Д. Клерсън през 1959 г. в книга за науката и фантастиката.
Екстраполационните методи могат да се разбират като разширение на данни или процеси, което предполага, че подобен процес ще се прилага извън тях. Екстраполацията е важно понятие, използвано не само в математиката, но и в други области, като социология, психология, прогнозиране. Например, водачът обикновено екстраполира условията на шофиране извън зрението си. Екстраполацията може да бъде приписана на метод, при който стойностите на данните се третират като точки x1, x2 ..., xn и след това стойността се доближава до границата на даден диапазон от точки.
Предимства на използването:
- Прост метод за прогнозиране
- Не се изискват много данни.
- Бърза и евтина анализа.
Методът съществува в статистиката. Ако периодично се премахват някакви стойности, отговорът се приближава до следващата точка от данни. Пример за метод на екстраполация е прогнозата за времето, която изследва предисторията на данните и екстраполира прогнозирания модел на бъдещето. Още по-прост пример, ако имате информация за неделя, понеделник и вторник, можете да екстраполирате сряда или четвъртък.
Недостатъци от използването на екстраполация:
- Ненадеждност, ако има значителни колебания в историческите данни.
- Предположението, че предишната тенденция ще продължи и в бъдеще, едва ли е възможно в много конкурентни бизнес среди.
- Игнорира факторите за качество, като промени във вкуса и модата.
Последователност ускорение
Методите на екстраполация са да се създаде допирателна линия в края на известните данни и да се разшири извън тази област. Подобно на интерполацията, екстраполацията използва много методи, които изискват предварително познаване на процеса, който създава съществуващите точки от данни. Методът включва линейна и полиномна екстраполация, коники и френска крива екстраполация.
Като правило качеството на определен метод е ограничено от предположения за функцията. В числовия анализ екстраполацията на Ричардсън е метод за ускоряване на последователността, използван за подобряване на скоростта на конвергенция.Тя е кръстена на Луис Фрай Ричардсън. Той въвежда изчислителната техника в началото на 20 век, полезността на която за практически изчисления трудно може да бъде надценена.
Практическите приложения на екстраполация на Ричардсън включват интеграцията на Ромберг, която го прилага към трапецовидното правило и алгоритъма на Bulliers-Stoehr за решаване на обикновени диференциални уравнения.
Линеен метод
Методът на линейна екстраполация е полезен, когато е посочена линейна функция. Това става, като се изчертае допирателна линия в крайната точка на дадена графика и се разшири отвъд нея. Този метод на екстраполация при прогнозиране дава добри резултати, когато точката, която трябва да се предвиди, не е твърде далеч от данните. Линейната интерполация е полезна при намирането на стойности между дадени точки. Може да се счита за "попълване на пропуските" на таблицата с данни.
Линейна стратегия за интерполация е използването на права линия за свързване на известни точки от стойности от двете страни на неизвестното. Линейната интерполация не е точна за нелинейни параметри. Ако точките в набора от данни се променят с голямо количество, линейната интерполация може да даде неправилна оценка.
Линейната екстраполация може да помогне за оценка на стойностите, които са по-високи или по-ниски от стойностите в набора от данни. Стратегията му е да използва подмножество от данни вместо целия набор. За този тип стойност е полезно да се приложи методът на екстраполация при прогнозиране, като се използват последните две или три точки, за да се оцени стойност, която надвишава обхвата на данни.
Полиномни и конусни екстраполации
Известно е, че три точки дават уникален полином. Полиномална крива може да продължи след края на такива данни. Обикновено се осъществява по метода на Нютон с крайна разлика или по формулата на интерполация на Lagrange. Полиномът от по-висок ред трябва да бъде екстраполиран с дължимата грижа, тъй като има голяма вероятност от грешка при екстраполация на полином. Ако това се случи, оценката на грешката ще се увеличи експоненциално със степента на полинома.
В математиката минималната полиномна екстраполация е трансформация на последователността, използвана за ускоряване на конвергенцията. Въпреки че методът на Aitken е най-известен, той често се проваля, особено за векторните последователности. В този случай се извършва итерация, която конструира матрицата. Колоните му са разлики.
Например, може да се направи метод на екстраполация за конусно сечение, като се използват 5 точки, посочени в края на данните. В случай, че коничната секция е кръг или елипса, тогава тя ще се завърта обратно и ще се съедини отново със себе си. Парабола или хипербола никога не се пресичат. Но те могат да бъдат огънати около оста X. Екстраполацията на конуса може да се извърши на хартия с конична секция или с помощта на компютър.
Математически метод за оценка
При този метод на екстраполация се прогнозира стойността за базовия период. Описаните по-долу действия се извършват автоматично от системата и не се виждат от потребителя. Описанието има за цел да усъвършенства алгоритъма, който показва очакваните стойности от количеството, съхранено в системата, и прогнозира резултата от измерването на електромера.
Екстраполацията с помощта на определението на сумата на процедурата се извършва с помощта на функцията: Yt = f (yi, t, aj).
Като основа за екстраполация се добавят закръглените данни от типичен базов период, съхранявани в резултатите от четенето. Системата определя теглото Yt на данните от времеви серии в t (време на прогнозния период), за да получи правилното решение чрез екстраполация. Където в референтната точка са взети ниво на доходност на серията и aj - параметър на уравнението на тренда.
Предсказване на функции
Методът за фиксиране на статистическа крива е приложим за прогнозиране на функционалността.Статистическите процедури съответстват на миналите данни на една или повече математически функции, като линейна, логаритмична, Фурие или експоненциална. Най-добрите се избират чрез статистически тест. Тогава тази прогноза се екстраполира от тази математическа връзка чрез метода на математическата екстраполация. Един от най-лесните начини за получаване на груби оценки за бъдещи (или минали) условия е да се екстраполира данни, които се променят във времето.
Например, ако трябва да направите груба оценка на бъдещите нива на замърсители в питейната вода за 20 години предварително, можете да екстраполирате тази тенденция от последните 20 години. Същото се наблюдава, ако в бъдеще трябва да прецените разпространението на тютюнопушенето или рака на белия дроб. Може да се направи прогноза чрез изчисляване на тенденциите през последните години. Екстраполациите от този тип могат да се извършват с по-малко сложни методи. В много случаи (особено в областта на маркетинга и управлението на бизнеса) традиционно се използва методът на екстраполация, например чрез преглед на най-новите данни и интуитивно оценяване на това, което се има предвид в бъдеще.
Методите, основани на правила, могат да се използват и чрез прилагане на набор от предварително дефинирани принципи или очаквания, базирани на предварително разбиране на системата и като се вземат предвид най-новите данни за интерпретация на бъдещи събития.
При всеки метод на екстраполация е необходимо повишено внимание поради наличието на множество несигурности. Всяка процедура за екстраполация се основава на предположението, че е налична надеждна информация в минали данни и знания. Следователно бъдещето се определя от същите фактори, които са действали преди.
Грешки за прогнозиране
Грешката на екстраполацията (по-точно заблудата на неоправданата екстраполация) възниква, когато явлението, отговорно за редица тривиални локални ефекти, се чете като големи глобални явления. Друга причина за грешката е, че понякога обобщените правила се извеждат от твърде малко факти. По този начин теорията на Дарвин за еволюцията е фантастичен пример за прилагането на метода на екстраполация, в който се обявяват механизмите на случайни промени и естествен подбор, за да се вземе предвид развитието на такива сложни структури като зрението на бозайниците или имунната система на живите организми.
Когато се опитва да интерпретира резултатите от изследванията, ученият трябва да избягва екстраполация извън обхвата на данните и да е наясно с основните допускания, за да избегне приемането на невалидни заключения. Като цяло екстраполацията е легитимен научен инструмент. Има два аспекта, които помагат да се разграничи валидната и грешна екстраполация. Вероятността за грешна екстраполация е по-висока, когато са получени точки за недостатъчни данни за нейното изграждане.
Статистически инструменти на Excel
За да намерите връзка между години и резултати (например в бизнес), можете да използвате Excel.
За тези задачи се използват статистически инструменти за екстраполационно моделиране, които са вградени във всички версии на Excel, като се започне с 97. Процедура:
- Въведете известни стойности, например общите продажби за 2016-2017 г., ако трябва да ги определите за 2018 и 2020 г.
- Инсталиране на анализ, функция, която изисква използването на добавка.
- За да го инсталирате, извлечете от менюто „Инструменти“, „Добавки“.
- Проверете прозореца на помощната програма за анализ и потвърдете с „OK“.
- Измервайте корелациите между две серии.
- Екстраполацията, която трябва да се направи, има смисъл само ако има ясна тенденция (корелация) между двете групи от числа (години и продажби) по метода на екстраполиране на тенденциите.
- За да измерите тази корелация, използвайте менюто "Инструменти", "Помощни програми за анализ".
- В списъка „Инструменти за анализ“ изберете „Анализ на корелацията“ и щракнете върху „OK“.
- В полето Диапазон на въвеждане въведете анализирания диапазон, например A6: B18, Excel ще добави символа "$".
- В областта "Опции на изхода" проверете диапазона на изхода и го въведете в съседното поле.
- Потвърдете с OK.
- Excel създава масив от два реда в две колони. Намерете изчислената стойност (например 0,981). Тъй като тази стойност е близка до 1, това означава, че има силна зависимост между годините и данните за продажбите. Ако потребителят получи стойност, близка до нула, това ще означава, че тенденцията не се проявява. В този случай екстраполацията няма смисъл.
- Започва оценка на бъдещите стойности.
- Изберете необходимия диапазон и щракнете върху бутона "Съветник на диаграмите".
- Изберете диаграма (например облачни точки) и щракнете върху Готово.
Използването на подвижни средни стойности
Тези два метода на екстраполация включват широко използване на данните за продажбите, за да се предскаже бъдещето. Движещата се средна стойност отнема поредица от данни и „изглажда“ колебанията в тях. Целта е да се извлекат екстреми от данни от период в период. Подвижните средни често се изчисляват на тримесечие или седмично. За да се предскажат бъдещите стойности, екстраполацията включва използването на тенденции, установени от исторически данни. Основното предположение за екстраполация е, че извадката ще продължи и в бъдеще, освен ако действителните доказателства не показват друго. За да разберете по-подробно тези методи, можете да разгледате диаграма, показваща продажбите на джаджи за големи предприятия от 2012 до 2015 г.
Този метод на екстраполация на изчисленията показва действителната цифра на продажбите. Както можете да видите, общата сума на продажбите варира от година на година, въпреки че можете да предположите (гледайки данните), че има обща тенденция за растеж на продажбите. Черната линия показва подвижната средна стойност. Това се изчислява, като се добавят последните години на продажбите (например Q1 + Q2 + Q3 + Q4) и след това се разделят на четири.
Този метод изглажда годишните промени и дава добра представа за общата тенденция в годишните продажби. Подвижната средна стойност помага да се посочи тенденцията за растеж, изразена като процент. Именно тази екстраполация ще се използва първо, за да се предскаже пътя на бъдещите продажби. Това може да стане математически с помощта на електронна таблица. Като алтернатива, екстраполирана тенденция може просто да бъде очертана на графиката като груба оценка.
Корелация на тенденцията
Винаги една технология е предшественик на друга. Това се случва, когато напредъкът, постигнат в технологията на предшественика, може да бъде възприет от последователната технология. Когато съществуват такива взаимоотношения, знанията за промените в технологиите на предшествениците могат да се използват за прогнозиране на напредъка на последователите на технологиите в бъдеще. В допълнение, екстраполацията на предшественика позволява да се предскаже продължаването на последващото след забавяне във времето.
В този случай се използва методът на екстраполация на тенденциите, при който например се сравняват тенденциите в скоростта на военните и транспортните самолети. Друг пример за прогнозиране на корелацията на тенденциите е прогнозирането на размера и мощността на бъдещите компютри въз основа на напредъка на микроелектронната технология. Понякога технологията на последователите зависи от няколко технологии на предшественици, но не и от един предшественик.
Фиксираните комбинации от предшественици могат да повлияят на промяната в последователността, но по-често комбинациите не са фиксирани и входовете на предшествениците се различават както по комбинация, така и по сила. Например, увеличаване на скоростта на самолета може да се случи поради подобряването на двигатели, материали, органи за управление, гориво, аеродинамика и различни комбинации от тези фактори.
Пример за прогноза за корелация, получена чрез екстраполиране на тенденциите: общи пътнически мили, общи географски мили и средна мощност за кацане.Екстраполацията на статистически определени тенденции позволява обективен подход за прогнозиране. Този подход обаче има сериозни ограничения и клопки. Всички грешки или неправилен избор, направени при определянето на исторически данни, ще бъдат отразени в прогнозата, което намалява нейната стойност.
Приложения, атрибути и ограничения
Методът на екстраполация принадлежи към областта на прогнозирането. Той предполага, че моделите, съществували в миналото, ще продължат и в бъдещето и че тези модели са редовни и могат да бъдат измерени. С други думи, миналото е добър показател за бъдещето. Приложенията са полезни за разработване на базови данни.
Атрибутите и ограниченията са прости и евтини инструменти за изчисление, както и сложни теоретични модели.
- Данни за обработка - графики и наблюдения.
- Ключът е да имате добра база данни и да разбирате структурата в нея.
- Техниката е най-доброто пасване, съотношение и така нататък.
Временните стандартни статистически процедури не водят до точен подбор на тенденции, които прогнозаторът може да екстраполира с комфорт, изпълнявайки прогнозата чрез екстраполация. В такива случаи прогнозата може да "коригира" статистическите резултати, като използва преценка. Той също така може напълно да игнорира статистиката и да екстраполира цялата тенденция въз основа на преценка.
Прогнозите, генерирани по този начин, са по-малко точни от статистическите прогнози, но не непременно незадоволителни. Един пример за подобна екстраполация на качествена тенденция е прогнозирането на сложността на самолета. Опитите за количествено определяне на тази тенденция не са успешни. Но процентът на подвижни или регулируеми части на самолета е екстраполиран с честотата, с която такива елементи са били въведени в миналото. Тези прогнози бяха доста точни.
Конкретни технически промени не могат да бъдат предвидени по този начин, но степента на промяна може. Това предоставя полезни материали за планиране, което показва тенденция в миналото поведение.