L'essence et les méthodes d'extrapolation

Le mot composé "extrapolation" est composé de deux mots simples. Le premier en latin sonne extra et signifie "dehors", "pour", "dehors". La seconde dans le même latin sonne polire et signifie "changer", "redresser", "lisser". En général, l'extrapolation peut être définie comme une valeur en dehors de deux points donnés. Il est considéré comme une évaluation de ce qui est extrait de faits connus qui développent des données dans une zone inconnue pour aboutir au résultat souhaité. Ce concept peut également être attribué à la prédiction de l'image du futur, en supposant la vérité des tendances présentes et passées.

La méthode d'extrapolation suppose que les données ou les observations continueront à être similaires à l'avenir. Ainsi, les résultats futurs peuvent être prédits. Cela peut être considéré comme une hypothèse mathématique. L'extrapolation utilise les données et les faits d'une situation spécifique et fournit des prédictions sur ce qui peut arriver à la fin.

Histoire d'extrapolation

Cette méthode est souvent appelée extrapolation de Richardson ou méthode de Romberg. Mais ce n’est pas tout à fait correct, car il existe depuis des siècles des méthodes numériques similaires pour résoudre de tels problèmes. Par conséquent, le fameux Richardson h2 (extrapolation pour solution numérique) n’est pas le premier. Une méthode similaire était applicable dans les calculs de Huygens dès 1654. Le terme "extrapolation" a été inventé pour la première fois par Thomas D. Clareson en 1959 dans un livre sur la science et la fiction.

Les méthodes d'extrapolation peuvent être comprises comme l'extension de données ou de processus, suggérant qu'un processus similaire sera appliqué en dehors d'eux. L'extrapolation est un concept important utilisé non seulement en mathématiques, mais également dans d'autres domaines tels que la sociologie, la psychologie, les prévisions. Par exemple, un conducteur extrapole généralement les conditions de conduite en dehors de sa vision. L'extrapolation peut être attribuée à une méthode dans laquelle les valeurs de données sont considérées comme des points x1, x2 ..., xn, puis la valeur approche de la limite d'une plage de points donnée.

Avantages d'utilisation:

1. Une méthode de prévision simple.
2. Peu de données sont nécessaires.
3. Analyse rapide et économique.

La méthode existe dans les statistiques. Si des valeurs sont supprimées périodiquement, la réponse approche du point de données suivant. Un exemple de méthode d'extrapolation est une prévision météorologique, qui examine l'arrière-plan des données et extrapole le modèle prédit du futur. Un exemple encore plus simple, si vous avez des informations sur les dimanches, lundis et mardis, vous pouvez extrapoler mercredi ou jeudi.

Inconvénients de l’extrapolation:

1. Manque de fiabilité, s'il y a des fluctuations importantes dans les données historiques.
2. L’hypothèse selon laquelle la tendance passée se poursuivra à l’avenir n’est guère possible dans de nombreux environnements commerciaux concurrentiels.
3. Ignore les facteurs de qualité, tels que les changements de goûts et de mode.

Accélération de la séquence

Les méthodes d'extrapolation consistent à créer une ligne tangente à la fin des données connues et à l'étendre au-delà de cette zone. À l'instar de l'interpolation, l'extrapolation utilise de nombreuses méthodes nécessitant une connaissance préalable du processus de création des points de données existants. La méthode comprend l’extrapolation linéaire et polynomiale, les coniques et l’extrapolation à la courbe française.

En règle générale, la qualité d'une méthode est limitée par des hypothèses sur la fonction. En analyse numérique, l'extrapolation de Richardson est une méthode d'accélération de séquence utilisée pour améliorer le taux de convergence.Il porte le nom de Lewis Fry Richardson. Il a introduit la technique de calcul au début du 20ème siècle, dont l'utilité pour des calculs pratiques peut difficilement être surestimée.

Les applications pratiques de l'extrapolation de Richardson incluent l'intégration de Romberg, qui l'applique à la règle du trapèze et à l'algorithme de Bulliers-Stoehr pour résoudre des équations différentielles ordinaires.

Méthode linéaire

La méthode d'extrapolation linéaire est utile lorsqu'une fonction linéaire est spécifiée. Ceci est fait en traçant une ligne tangente au point final d'un graphique donné et en l'étendant au-delà. Cette méthode d'extrapolation en prévision donne de bons résultats lorsque le point à prédire n'est pas trop éloigné des données. L'interpolation linéaire est utile pour rechercher des valeurs entre des points donnés. Cela peut être considéré comme "combler les lacunes" du tableau de données.

Une stratégie d'interpolation linéaire consiste à utiliser une ligne droite pour relier des points de valeurs connus de part et d'autre de l'inconnu. L'interpolation linéaire n'est pas précise pour les paramètres non linéaires. Si les points de l'ensemble de données changent d'une quantité importante, une interpolation linéaire peut donner une estimation incorrecte.

L'extrapolation linéaire peut aider à estimer les valeurs supérieures ou inférieures aux valeurs de l'ensemble de données. Sa stratégie consiste à utiliser un sous-ensemble de données au lieu de l'ensemble. Pour ce type de valeur, il est utile d'appliquer la méthode d'extrapolation à la prévision en utilisant les deux ou trois derniers points pour estimer une valeur dépassant la plage de données.

Extrapolations polynomiales et coniques

On sait que trois points donnent un polynôme unique. Une courbe polynomiale peut être poursuivie après la fin de ces données. Elle est généralement effectuée par la méthode de Newton avec une différence finie ou en utilisant la formule d’interpolation de Lagrange. Un polynôme d'ordre supérieur doit être extrapolé avec la plus grande prudence, car il existe un risque d'erreur raisonnable avec l'extrapolation polynomiale. Si cela se produit, l'estimation de l'erreur augmentera de manière exponentielle avec le degré du polynôme.

En mathématiques, l'extrapolation polynomiale minimale est une transformation de séquence utilisée pour accélérer la convergence. Bien que la méthode d'Aitken soit mieux connue, elle échoue souvent, en particulier pour les séquences de vecteurs. Dans ce cas, une itération est réalisée pour construire la matrice. Ses colonnes sont des différences.

Par exemple, une méthode d'extrapolation pour une section conique peut être réalisée à l'aide de 5 points indiqués vers la fin des données. Si la section conique est un cercle ou une ellipse, elle se retournera et se réunira avec elle-même. La parabole ou l'hyperbole ne se croisent jamais. Mais ils peuvent être repliés autour de l'axe X. L'extrapolation du cône peut être réalisée sur du papier à section conique ou à l'aide d'un ordinateur.

Méthode d'évaluation mathématique

Dans cette méthode d'extrapolation, la valeur pour la période de base est prédite. Les actions décrites ci-dessous sont automatiquement effectuées par le système et ne sont pas visibles pour l'utilisateur. La description a pour but d'affiner l'algorithme, qui affiche les valeurs attendues à partir de la quantité stockée dans le système et prédit le résultat de la mesure par le compteur.

L'extrapolation utilisant la définition du montant de la procédure est effectuée à l'aide de la fonction: Yt = f (yi, t, aj).

Pour l'extrapolation, les données arrondies d'une période de base typique stockée dans les résultats de lecture sont ajoutées. Le système détermine le poids Yt des données de série temporelle en t (heure de la période de prévision) pour obtenir la solution correcte par extrapolation. Où au point de référence sont pris yi - le niveau de la série et aj - le paramètre de l'équation de tendance.

Prédiction des fonctionnalités

La méthode de fixation d’une courbe statistique s’applique à la fonctionnalité de prévision.Les procédures statistiques correspondent aux données passées d'une ou plusieurs fonctions mathématiques, telles que linéaire, logarithmique, de Fourier ou exponentielle. Les meilleurs sont sélectionnés par un test statistique. Ensuite, cette prévision est extrapolée à partir de cette connexion mathématique par la méthode d'extrapolation mathématique. L'un des moyens les plus faciles d'obtenir des estimations approximatives des conditions futures (ou passées) consiste à extrapoler des données qui changent avec le temps.

Par exemple, si vous devez procéder à une évaluation approximative des niveaux futurs de polluants dans l'eau potable pendant 20 ans, vous pouvez extrapoler cette tendance des 20 dernières années. Il en va de même si vous devez estimer la prévalence future du tabagisme ou du cancer du poumon. Une prévision peut être faite en calculant les tendances des dernières années. Des extrapolations de ce type peuvent être effectuées à l'aide de méthodes moins complexes. Dans de nombreux cas (en particulier dans les domaines du marketing et de la gestion d'entreprise), la méthode d'extrapolation est traditionnellement utilisée, par exemple, en affichant les dernières données et en évaluant de manière intuitive ce que l'on entend à l'avenir.

Les méthodes basées sur des règles peuvent également être utilisées en appliquant un ensemble de principes prédéfinis ou d’attentes basées sur une compréhension préliminaire du système et en prenant en compte les données les plus récentes pour interpréter les événements futurs.

Quelle que soit la méthode d'extrapolation, la prudence est de mise en raison de la présence de nombreuses incertitudes. Toute procédure d'extrapolation est basée sur l'hypothèse selon laquelle des informations fiables sont disponibles dans les données et connaissances antérieures. En conséquence, l’avenir est déterminé par les mêmes facteurs que ceux qui ont agi précédemment.

Erreurs de prévision

L'erreur d'extrapolation (plus précisément l'erreur d'extrapolation injustifiée) se produit lorsque le phénomène responsable d'un certain nombre d'effets locaux triviaux est interprété comme un phénomène mondial majeur. Une autre raison de l'erreur réside dans le fait que des règles généralisées sont parfois déduites de trop peu de faits. Ainsi, la théorie de Darwin sur l’évolution est un exemple fantastique de l’application de la méthode d’extrapolation, dans laquelle les mécanismes de changement aléatoire et de sélection naturelle sont annoncés pour prendre en compte le développement de structures complexes telles que la vision des mammifères ou le système immunitaire des organismes vivants.

Lorsqu’il tente d’interpréter les résultats de la recherche, le scientifique doit éviter toute extrapolation en dehors de la plage de données et connaître les hypothèses sous-jacentes afin d’éviter d’accepter des conclusions non valables. En général, l'extrapolation est un outil scientifique légitime. Deux aspects permettent de distinguer entre une extrapolation valide et une extrapolation erronée. La probabilité d'extrapolation erronée est plus élevée lorsque des points ont été obtenus pour des données insuffisantes lors de sa construction.

Outils statistiques Excel

Pour trouver une corrélation entre les années et les résultats (dans une entreprise, par exemple), vous pouvez utiliser Excel.

Pour ces tâches, des outils statistiques de modélisation d'extrapolation sont intégrés à toutes les versions d'Excel, à partir de 97. Procédure:

1. Entrez des valeurs connues, par exemple, le total des ventes pour 2016-2017, si vous devez les déterminer pour 2018 et 2020.
2. Installez Analysis, une fonctionnalité qui nécessite l'utilisation d'un complément.
3. Pour l'installer, extrayez-vous à partir du menu "Outils", "Add-ons".
4. Vérifiez la fenêtre de l'utilitaire d'analyse et confirmez avec «OK».
5. Mesurer les corrélations entre deux séries.
6. L'extrapolation à effectuer n'a de sens que s'il existe une tendance claire (corrélation) entre les deux ensembles de nombres (années et ventes) par la méthode d'extrapolation des tendances.
7. Pour mesurer cette corrélation, utilisez le menu "Outils", "Utilitaires d’analyse".
8. Dans la liste «Outils d'analyse», sélectionnez «Analyse de corrélation» et cliquez sur «OK».
9. Dans le champ Plage d'entrée, entrez la plage analysée, par exemple A6: B18, Excel ajoutera le symbole "$".
10. Dans la zone "Options de sortie", vérifiez la plage de sortie et entrez-la dans le champ adjacent.
11. Confirmez avec OK.
12. Excel crée un tableau de deux lignes dans deux colonnes. Recherchez la valeur calculée (par exemple, 0,981). Comme cette valeur est proche de 1, cela signifie qu'il existe une forte corrélation entre les années et les chiffres des ventes. Si l'utilisateur reçoit une valeur proche de zéro, cela signifie que la tendance ne se produit pas. Dans ce cas, l'extrapolation n'a pas de sens.
13. Une évaluation des valeurs futures commence.
14. Sélectionnez la plage requise et cliquez sur le bouton "Assistant Graphique".
15. Sélectionnez un graphique (par exemple, des nuages ​​de points) et cliquez sur Terminer.

L'utilisation de moyennes mobiles

Ces deux méthodes d'extrapolation impliquent l'utilisation généralisée de données sur les ventes pour prédire l'avenir. La valeur de la moyenne mobile prend une série de données et "adoucit" leurs fluctuations. L'objectif est d'extraire des extrema de données d'une période à l'autre. Les moyennes mobiles sont souvent calculées tous les trimestres ou toutes les semaines. Pour prévoir les valeurs futures, l'extrapolation implique l'utilisation de tendances établies à partir de données historiques. La principale hypothèse d'extrapolation est que l'échantillon sera conservé dans le futur, à moins que des éléments concrets indiquent le contraire. Pour comprendre ces méthodes plus en détail, vous pouvez envisager un graphique indiquant les ventes de gadgets pour les grandes entreprises de 2012 à 2015.

Cette méthode d'extrapolation de calcul montre le chiffre d'affaires réel. Comme vous pouvez le constater, le montant total des ventes varie d’une année à l’autre, même si vous pouvez deviner (en regardant les données) qu’il existe une tendance générale à la croissance des ventes. La ligne noire indique la moyenne mobile. Ceci est calculé en additionnant les dernières années de ventes (par exemple, T1 + T2 + Q3 + Q4) puis en divisant par quatre.

Cette méthode adoucit les variations annuelles et donne une bonne idée de la tendance générale des ventes annuelles. Une moyenne mobile permet d'indiquer une tendance de croissance, exprimée en pourcentage. C’est cette extrapolation qui sera utilisée en premier pour prédire l’évolution des ventes futures. Cela peut être fait mathématiquement en utilisant une feuille de calcul. Alternativement, une tendance extrapolée peut simplement être dessinée sur un graphique sous forme d'estimation approximative.

Corrélation de tendance

Une technologie est toujours le précurseur d’une autre. Cela se produit lorsque les progrès réalisés dans la technologie des précurseurs peuvent être adoptés par la technologie suivante. Lorsque de telles relations existent, la connaissance de l'évolution de la technologie des prédécesseurs peut être utilisée pour prédire les progrès des adeptes de la technologie à l'avenir. De plus, l'extrapolation du précurseur permet de prédire la poursuite du suivi au-delà du délai.

Dans ce cas, on utilise la méthode d'extrapolation des tendances, dans laquelle on compare, par exemple, les tendances de la vitesse des avions militaires et de transport. Un autre exemple de prévision de corrélation de tendance est la prédiction de la taille et de la puissance des futurs ordinateurs basée sur les progrès de la technologie microélectronique. Parfois, la technologie des adeptes dépend de plusieurs technologies de précurseurs, mais pas d’un prédécesseur.

Des combinaisons fixes de prédécesseurs peuvent affecter le changement de séquence, mais le plus souvent, les combinaisons ne sont pas fixes et les entrées des prédécesseurs diffèrent à la fois en combinaison et en force. Par exemple, l’amélioration des moteurs, des matériaux, des commandes, du carburant, de l’aérodynamique et de diverses combinaisons de ces facteurs peut entraîner une augmentation de la vitesse des avions.

Exemple de prévision de corrélation obtenue par extrapolation de tendances: nombre total de passagers-milles, total de milles géographiques et puissance moyenne d'atterrissage.L'extrapolation de tendances statistiquement déterminées permet une approche objective de la prévision. Cependant, cette approche présente de sérieuses limites et pièges. Toute erreur ou choix incorrect dans la détermination des données historiques sera reflété dans la prévision, ce qui en réduira la valeur.

Applications, attributs et limites

La méthode d'extrapolation appartient au domaine de la prévision. Il suggère que les modèles qui existaient dans le passé se poursuivront dans le futur et que ces modèles sont réguliers et peuvent être mesurés. En d'autres termes, le passé est un bon indicateur de l'avenir. Les applications sont utiles pour développer des données de base.

Les attributs et les limites sont des outils de calcul simples et peu coûteux, ainsi que des modèles théoriques complexes.

1. Données de processus - graphiques et observations.
2. L'essentiel est d'avoir une bonne base de données et de comprendre sa structure.
3. La technique est le meilleur ajustement, le ratio et ainsi de suite.

Les procédures statistiques standard temporaires ne permettent pas une sélection précise des tendances que le prévisionniste peut extrapoler avec confort, en effectuant la prévision par extrapolation. En pareil cas, le prévisionniste peut «ajuster» les résultats statistiques en utilisant son jugement. Il peut également ignorer complètement les statistiques et extrapoler toute la tendance en fonction d'un jugement.

Les prévisions générées de cette manière sont moins précises que les prévisions statistiques, mais pas nécessairement insatisfaisantes. Un exemple d'une telle extrapolation d'une tendance de qualité est la prédiction de la complexité des aéronefs. Les tentatives de quantification de cette tendance n'ont pas abouti. Mais le pourcentage de pièces mobiles ou ajustables de l'aéronef a été extrapolé à la fréquence à laquelle ces éléments ont été introduits dans le passé. Ces prévisions étaient assez précises.

Des changements techniques spécifiques ne peuvent pas être prédits de cette manière, mais le degré de changement peut. Cela fournit des matériaux de planification utiles, indiquant une tendance dans le comportement passé.