תמצית ושיטות האקסטרפולציה

המילה המורכבת "אקסטרפולציה" מורכבת משתי מילים פשוטות. הראשון בלטינית נשמע אקסטרה ומשמעותו "בחוץ", "עבור", "בחוץ". השני באותו לטינית נשמע מקוטע ומשמעותו "שינוי", "יישר", "חלק". באופן כללי, ניתן להגדיר את האקסטרפולציה כערך מחוץ לשתי נקודות נתונות. זה נחשב להערכה של מה שמופק מעובדות ידועות המרחיבות נתונים באזור לא ידוע כדי להגיע לתוצאה המיועדת. ניתן לייחס מושג זה גם לחיזוי דימוי העתיד, בהנחת אמיתות של מגמות בהווה ובעבר.

שיטת האקסטרפולציה מניחה כי נתונים או תצפיות בעתיד עדיין יהיו דומים. כך ניתן לחזות תוצאות עתידיות. זה יכול להיחשב כהשערה מתמטית. אקסטראפולציה משתמשת בנתונים ובעובדות של מצב ספציפי ומספקת תחזיות לגבי מה שעלול לקרות בסופו של דבר.

היסטוריית חילוץ

שיטה זו מכונה לעתים קרובות אקסטרפולציה של ריצ'רדסון או שיטת רומברג. אבל זה לא לגמרי נכון, שכן במשך מאות שנים היו שיטות מספריות דומות לפיתרון בעיות כאלה. לכן ריצ'רדסון h2 המפורסם (אקסטרפולציה לפיתרון מספרי) אינו הראשון. שיטה דומה הייתה מיושמת בחישובי הויגנס כבר בשנת 1654. את המונח "אקסטרפולציה" עצמו טבע לראשונה תומאס ד. קלרסון בשנת 1959 בספר על מדע ובדיוני.

ניתן להבין את שיטות החילוץ כשלוחה של נתונים או תהליכים, מה שמרמז על כך שתוחל תהליך דומה מחוץ להם. אקסטרפטולציה היא מושג חשוב שמשמש לא רק במתמטיקה, אלא גם בתחומים אחרים, כמו סוציולוגיה, פסיכולוגיה, חיזוי. לדוגמה, נהג בדרך כלל מחדיר את תנאי הנהיגה מחוץ לראייתו. ניתן לייחס אקסטרפטולציה לשיטה בה נחשבים ערכי נתונים כנקודות x1, x2 ..., xn ואז הערך מתקרב לגבול של טווח נקודות מסוים.

יתרונות השימוש:

1. שיטת חיזוי פשוטה.
2. לא נדרש הרבה נתונים.
3. ניתוח מהיר וזול.

השיטה קיימת בסטטיסטיקה. אם מוסרים מעת לעת ערכים כלשהם, התשובה מתקרבת לנקודת הנתונים הבאה. דוגמה לשיטת אקסטרפולציה היא תחזית מזג האוויר, הרואה את היסטוריית הנתונים ומחוצה מודל חזוי של העתיד. דוגמה פשוטה אפילו יותר, אם יש לך מידע על ימי ראשון, שני ושלישי, אתה יכול להחיש את רביעי או חמישי.

החסרונות של השימוש באקסטרפולציה:

1. אי אמינות, אם יש תנודות משמעותיות בנתונים היסטוריים.
2. ההנחה שמגמת העבר תימשך בעתיד אינה כמעט אפשרית בסביבות עסקיות תחרותיות רבות.
3. מתעלם מגורמי איכות, כמו שינויים בטעמים ובאופנה.

האצת רצף

דרכי אקסטרפולציה היא ליצור קו משיק בסוף נתונים ידועים ולהרחיב אותם מעבר לאזור זה. בדומה לאינטרפולציה, האקסטרפולציה משתמשת בשיטות רבות הדורשות ידע קודם בתהליך היוצר את נקודות הנתונים הקיימות. השיטה כוללת אקסטרפולציה ליניארית ופולינום, חרוטי אקסטראפולציה עקומה צרפתית.

ככלל, איכות שיטה מסוימת מוגבלת על ידי הנחות לגבי הפונקציה. בניתוח מספרי, אקסטרפולציה של ריצ'רדסון היא שיטת האצת רצף המשמשת לשיפור קצב ההתכנסות.זה נקרא על שם לואיס פריי ריצ'רדסון. הוא הציג את טכניקת החישוב בראשית המאה העשרים, אשר בקושי ניתן להעריך את התועלת שלה לחישובים פרקטיים.

יישומים מעשיים של אקסטרפולציה של ריצ'רדסון כוללים את שילוב רומברג, אשר מיישם אותו על הכלל הטרפז ואלגוריתם בוליייר-סטואר לפתור משוואות דיפרנציאל רגילות.

שיטה לינארית

שיטת האקסטרפולציה ליניארית שימושית כאשר מוגדרת פונקציה ליניארית. זה נעשה על ידי ציור קו משיק בנקודת הסיום של גרף נתון והרחבתו מעבר. שיטת אקסטרפולציה זו בחיזוי נותנת תוצאות טובות כאשר הנקודה שיש לחזות בה אינה רחוקה מדי מהנתונים. אינטרפולציה לינארית מועילה במציאת ערכים בין נקודות נתונות. זה יכול להיחשב כ"מילוי פערים "של טבלת הנתונים.

אסטרטגיית אינטרפולציה לינארית היא להשתמש בקו ישר לחיבור נקודות ערכים ידועות משני צדי הלא נודע. אינטרפולציה לינארית אינה מדויקת לפרמטרים לא לינאריים. אם הנקודות במערך הנתונים משתנות בכמות גדולה, אינטרפולציה לינארית עשויה לתת אומדן שגוי.

אקסטרפולציה ליניארית יכולה לעזור בהערכת ערכים הגבוהים או הנמוכים מהערכים בערכת הנתונים. האסטרטגיה שלה היא להשתמש בקבוצת נתונים במקום בערכה כולה. עבור סוג זה של ערך, כדאי להחיל את שיטת האקסטרפולציה בחיזוי באמצעות שתי או שלוש הנקודות האחרונות כדי להעריך ערך העולה על טווח הנתונים.

אקסטרפולציות פולינומיות וחרוטיות

ידוע כי שלוש נקודות מעניקות פולינום ייחודי. ניתן להמשיך בעקומת פולינומי לאחר סיום נתונים כאלה. לרוב היא מתבצעת בשיטת ניוטון בהפרש סופי או באמצעות נוסחת האינטרפולציה של לגראנז '. יש לבצע אקסטרפולציה של פולינום בסדר גודל גבוה יותר בזהירות, מכיוון שיש סיכוי סביר לטעות עם אקסטרפולציה של פולינום. אם זה יקרה, הערכת השגיאה תגדל באופן אקספוננציאלי עם מידת הפולינום.

במתמטיקה, אקסטרפולציה פולימומית מינימלית היא טרנספורמציית רצף המשמשת להאצת ההתכנסות. למרות שהשיטה של ​​אייקן ידועה בעיקר, היא לרוב נכשלת, במיוחד עבור רצפי וקטור. במקרה זה, מבוצעת איטרציה שבונה את המטריצה. העמודים שלו הם הבדלים.

לדוגמה, ניתן לבצע שיטת אקסטרפולציה לחתך חרוטי באמצעות 5 נקודות המצוינות בסיום הנתונים. במקרה שהקטע הקוני הוא מעגל או אליפסה, אז הוא יעבור לאחור ויתאחד עם עצמו. פרבולה או היפרבולה לא מצטלבים אף פעם. אך ניתן לכופף אותם לאחור סביב ציר ה- X. חילוץ הקונוס יכול להיעשות על נייר עם חתך חרוטי או באמצעות מחשב.

שיטת הערכה מתמטית

בשיטת אקסטרפולציה זו ניבא הערך לתקופת הבסיס. הפעולות המתוארות להלן מבוצעות באופן אוטומטי על ידי המערכת ואינן גלויות למשתמש. התיאור נועד לחדד את האלגוריתם, המציג את הערכים הצפויים מהכמות המאוחסנת במערכת, ומנבא את התוצאה של מדידת המונה.

אקסטרפולציה באמצעות ההגדרה של כמות ההליך מבוצעת באמצעות הפונקציה: Yt = f (yi, t, aj).

כבסיס לאקסטרפולציה מתווספים הנתונים המעוגלים של תקופת בסיס טיפוסית המאוחסנת בתוצאות הקריאה. המערכת קובעת את המשקל Yt של נתוני סדרות הזמן ב- t (זמן תקופת התחזית) כדי לקבל את הפיתרון הנכון על ידי אקסטרפולציה. כאשר בנקודת הייחוס נלקחים yi - רמת הסדרה ו- aj - הפרמטר של משוואת המגמה.

חיזוי תכונה

שיטת תיקון עקומה סטטיסטית מתאימה לחיזוי פונקציונליות.נהלים סטטיסטיים תואמים לנתוני העבר של פונקציה מתמטית אחת או יותר, כגון ליניארית, לוגריתמית, פורייה או מעריכית. הטובים ביותר נבחרים על ידי מבחן סטטיסטי. ואז תחזית זו מופקדת מחיבור מתמטי זה על ידי שיטת האקסטרפולציה המתמטית. אחת הדרכים הקלות ביותר להשיג הערכות גסות של תנאים עתידיים (או בעבר) היא להחיש נתונים המשתנים לאורך זמן.

לדוגמה, אם עליכם לבצע הערכה גסה של רמות עתידיות של מזהמים במי שתייה במשך 20 שנה מראש, תוכלו להחיש את המגמה הזו מ -20 השנים האחרונות. כך גם אם אתה צריך להעריך את השכיחות של עישון או סרטן ריאות ברקע בעתיד. ניתן לערוך תחזית על ידי חישוב מגמות בשנים האחרונות. ניתן לבצע חילוץ מסוג זה בשיטות פחות מורכבות. במקרים רבים (במיוחד בתחומי השיווק והניהול העסקי), שיטת האקסטרפולציה משמשת באופן מסורתי, למשל, על ידי צפייה בנתונים האחרונים והערכת אינטואיטיבית מה הכוונה בעתיד.

ניתן להשתמש בשיטות מבוססות כלל על ידי יישום מערכת של עקרונות או ציפיות מוגדרים מראש המבוססים על הבנה ראשונית של המערכת ובהתחשב בנתונים האחרונים כדי לפרש אירועים עתידיים.

בכל שיטת אקסטרפולציה, זהירות חשובה בגלל נוכחותם של מספר אי וודאות. כל הליך אקסטרפולציה מבוסס על ההנחה שמידע אמין זמין בנתוני ידע וידע. כתוצאה מכך, העתיד נקבע על ידי אותם גורמים שפעלו בעבר.

שגיאות חיזוי

שגיאת האקסטרפולציה (ליתר דיוק, שגיאת האקסטרפולציה הבלתי מוצדקת) מתרחשת כאשר התופעה האחראית למספר השפעות מקומיות טריוויאליות נקראת כתופעות עולמיות גדולות. סיבה נוספת לשגיאה היא שלעתים נגזרים כללים כלליים ממעט מדי עובדות. לפיכך, תיאוריית האבולוציה של דארווין היא דוגמה פנטסטית ליישום שיטת האקסטרפולציה, שבה מודיעים על מנגנוני השינויים האקראיים והברירה הטבעית לקחת בחשבון את ההתפתחות של מבנים מורכבים כמו ראיית היונקים או מערכת החיסון של אורגניזמים חיים.

כאשר הוא מנסה לפרש תוצאות מחקר, על המדען להימנע מהאקסטרפולציה מחוץ לטווח הנתונים ולהיות מודע להנחות הבסיסיות כדי להימנע מקבלת מסקנות פסולות. באופן כללי, אקסטרפולציה היא כלי מדעי לגיטימי. ישנם שני היבטים שעוזרים להבחין בין אקסטרפולציה שגויה לבין שגויה. ההסתברות לאי-סחיטה שגויה גבוהה יותר כאשר התקבלו נקודות עבור נתונים לא מספיקים לבנייתו.

כלים סטטיסטיים של Excel

כדי למצוא מתאם בין שנים לתוצאות (לדוגמה, בעסק), אתה יכול להשתמש ב- Excel.

עבור משימות אלה משתמשים בכלים סטטיסטיים למידול אקסטרפולציה המובנים בכל הגרסאות של Excel, החל מ- 97. נוהל:

1. הזן ערכים ידועים, למשל, סך המכירות לשנים 2016-2017, אם אתה צריך לקבוע אותם לשנים 2018 ו- 2020.
2. התקן ניתוח, תכונה הדורשת שימוש בתוסף.
3. כדי להתקין אותו, הוציא מהתפריט "כלים", "תוספות".
4. בדוק את חלון כלי הניתוח ואשר ב- "OK".
5. מדוד מתאם בין שתי סדרות.
6. האקסטרפולציה שצריכה להיעשות הגיונית רק אם קיימת מגמה ברורה (מתאם) בין שתי קבוצות המספרים (שנים ומכירות) בשיטת חילוץ המגמות.
7. כדי למדוד מתאם זה, השתמש בתפריט "כלים", "כלי עזר לניתוח".
8. ברשימה "כלי ניתוח" בחר "ניתוח מתאם" ולחץ על "אישור".
9. בשדה טווח הקלט הזן את הטווח המנותח, למשל A6: B18, Excel יוסיף את הסמל "$".
10. באזור "אפשרויות פלט", בדוק את טווח הפלט והזן אותו בשדה הסמוך.
11. אשר באמצעות אישור.
12. Excel יוצר מערך של שתי שורות בשתי עמודות. מצא את הערך המחושב (לדוגמא 0.981). מכיוון שערך זה קרוב ל -1, המשמעות היא שיש מתאם חזק בין שנים לנתוני מכירות. אם המשתמש מקבל ערך קרוב לאפס, פירוש הדבר שהמגמה לא תתרחש. במקרה זה, האקסטרפולציה לא הגיונית.
13. התחלת הערכה של ערכים עתידיים.
14. בחר את הטווח הנדרש ולחץ על כפתור "אשף התרשימים".
15. בחר תרשים (לדוגמה, ענני הצבע) ולחץ על סיום.

השימוש בממוצעים נעים

שתי שיטות האקסטרפולציה הללו כוללות שימוש נרחב בנתוני מכירות כדי לחזות את העתיד. הערך הממוצע הנע לוקח סדרת נתונים ו"מחליק "תנודות בהן. המטרה היא לחלץ extrema של נתונים מתקופה לתקופה. ממוצעים נעים מחושבים לרוב או לשבוע. כדי לחזות ערכים עתידיים, אקסטרפולציה כוללת שימוש במגמות שנקבעו על ידי נתונים היסטוריים. ההנחה העיקרית של אקסטרפולציה היא שהמדגם יימשך בעתיד, אלא אם כן ראיות בפועל מצביעות על כך אחרת. בכדי להבין שיטות אלה ביתר פירוט, תוכלו לשקול תרשים המציג את מכירות הגאדג'טים לעסקים גדולים משנת 2012 עד 2015.

שיטת אקסטרפולציה לחישוב זו מציגה את נתון המכירות בפועל. כפי שאתה יכול לראות, סך המכירות משתנה משנה לשנה, אם כי אתה יכול לנחש (מסתכלים על הנתונים) כי קיימת מגמה כללית לצמיחת מכירות. הקו השחור מציג את הממוצע הנע. זה מחושב על ידי הוספת שנות המכירות האחרונות (למשל Q1 + Q2 + Q3 + Q4) ואז חלוקה בארבע.

שיטה זו מחלקת שינויים שנתיים ומעניקה מושג טוב לגבי המגמה הכללית במכירות השנתיות. ממוצע נע עוזר להצביע על מגמת צמיחה, המתבטאת באחוזים. האקסטרפולציה הזו היא שתשמש תחילה לחיזוי מסלול המכירות העתידיות. ניתן לעשות זאת באופן מתמטי באמצעות גיליון אלקטרוני. לחלופין, פשוט ניתן לצייר מגמה שהוחלפה על התרשים כאומדן גס.

מתאם מגמה

טכנולוגיה אחת היא תמיד קודמתה של אחרת. זה קורה כאשר ניתן לאמץ את ההתקדמות הטמונה בטכנולוגיית מבשרי על ידי טכנולוגיית העוקבים. כאשר קיימים מערכות יחסים כאלה, ניתן להשתמש בידע על שינויים בטכנולוגיה של קודמים כדי לחזות את התקדמותם של תומכי הטכנולוגיה בעתיד. בנוסף, אקסטרפולציה של המבשר מאפשרת לחזות את המשך המעקב מעבר לעיכוב הזמן.

במקרה זה משתמשים בשיטת חילוץ המגמות, שבה למשל משווים מגמות במהירות מטוסי צבא ותובלה. דוגמה נוספת לחיזוי מתאם מגמה היא חיזוי הגודל והעוצמה של מחשבים עתידיים על סמך התקדמות הטכנולוגיה המיקרו-אלקטרונית. לפעמים הטכנולוגיה של העוקבים תלויה בכמה טכנולוגיות של קודמים, אך לא מקודמת אחת.

שילובים קבועים של קודמים יכולים להשפיע על השינוי ברצף, אך לעיתים קרובות יותר הצירופים אינם קבועים, ותשומותיהם של קודמות שונות זו מזו בשילוב והן בעוצמה. לדוגמה, עלייה במהירות המטוס יכולה להתרחש עקב שיפור במנועים, חומרים, בקרות, דלק, אווירודינמיקה ושילובים שונים של גורמים אלה.

דוגמה לתחזית מתאם המתקבלת על ידי חילוץ מגמות: סך מיילים הנוסעים, מיילים גיאוגרפיים כוללים, וכוח נחיתה ממוצע.חילוץ מגמות שנקבעו סטטיסטית מאפשר גישה אובייקטיבית לחיזוי. עם זאת, לגישה זו יש מגבלות וחסרונות רציניים. כל שגיאה או בחירות שגויות שייקבעו בקביעת נתונים היסטוריים יבואו לידי ביטוי בתחזית, מה שמקטין את ערכו.

יישומים, תכונות ומגבלות

שיטת האקסטרפולציה שייכת לתחום החיזוי. הוא מציע שדפוסים שהיו קיימים בעבר ימשיכו לעתיד, וכי דפוסים אלה הם קבועים וניתן למדוד אותם. במילים אחרות, העבר הוא אינדיקטור טוב לעתיד. יישומים שימושיים לפיתוח נתונים בסיסיים.

תכונות ומגבלות הם כלי חישוב פשוטים וזולים, כמו גם מודלים תיאורטיים מורכבים.

1. נתוני תהליכים - גרפים ותצפיות.
2. המפתח הוא בעל מסד נתונים טוב והבנת המבנה שבתוכו.
3. טכניקה היא ההתאמה הטובה ביותר, היחס וכדומה.

נהלים סטטיסטיים סטנדרטיים זמניים אינם מובילים לבחירה מדויקת של מגמות שהחזאי יכול לחלץ בנוחות, מבצע את התחזית על ידי אקסטרפולציה. במקרים כאלה, החזאי יכול "להתאים" את התוצאות הסטטיסטיות באמצעות שיקול דעת. זה יכול גם להתעלם לחלוטין מסטטיסטיקה ולהחיש את כל המגמה על סמך שיקול דעת.

תחזיות שנוצרו בדרך זו פחות מדויקות מהתחזיות הסטטיסטיות, אך אינן בהכרח אינן מספקות. אחת הדוגמאות לאקסטרפולציה כזו של מגמה איכותית היא חיזוי מורכבות המטוסים. הניסיונות לכמת מגמה זו לא צלחו. אולם אחוז החלקים הניתנים להזזה או לכוונון של המטוס הוחלט עם התדירות בה הוצגו אלמנטים כאלה בעבר. תחזיות אלה היו די מדויקות.

לא ניתן לחזות שינויים טכניים ספציפיים בדרך זו, אך מידת השינוי יכולה. זה מספק חומרי תכנון שימושיים, המעידים על מגמה בהתנהגות בעבר.