Het samengestelde woord "extrapolatie" bestaat uit twee eenvoudige woorden. De eerste in het Latijn klinkt extra en betekent "buiten", "voor", "buiten". De tweede in hetzelfde Latijn klinkt polair en betekent "verandering", "rechtzetten", "glad". Over het algemeen kan extrapolatie worden gedefinieerd als een waarde buiten twee gegeven punten. Het wordt beschouwd als een beoordeling van wat wordt geëxtraheerd uit bekende feiten die gegevens in een onbekend gebied uitbreiden om tot het beoogde resultaat te komen. Dit concept kan ook worden toegeschreven aan de voorspelling van het beeld van de toekomst, uitgaande van de waarheid van huidige en vroegere trends.
De extrapolatiemethode veronderstelt dat gegevens of observaties in de toekomst vergelijkbaar zullen blijven. Zo kunnen toekomstige resultaten worden voorspeld. Het kan worden beschouwd als een wiskundige hypothese. Extrapolatie gebruikt de gegevens en feiten van een specifieke situatie en biedt voorspellingen over wat er uiteindelijk kan gebeuren.
Extrapolatiegeschiedenis
Deze methode wordt vaak Richardson-extrapolatie of de Romberg-methode genoemd. Maar dit is niet helemaal correct, want er zijn al eeuwen soortgelijke numerieke methoden om dergelijke problemen op te lossen. Daarom is de beroemde Richardson h2 (extrapolatie voor een numerieke oplossing) niet de eerste. Een vergelijkbare methode was al in 1654 van toepassing op Huygens-berekeningen. De term "extrapolatie" zelf werd voor het eerst bedacht door Thomas D. Clareson in 1959 in een boek over wetenschap en fictie.
Extrapolatiemethoden kunnen worden opgevat als de uitbreiding van gegevens of processen, wat suggereert dat een soortgelijk proces daarbuiten zal worden toegepast. Extrapolatie is een belangrijk concept dat niet alleen in de wiskunde wordt gebruikt, maar ook op andere gebieden, zoals sociologie, psychologie, voorspelling. Een bestuurder extrapoleert bijvoorbeeld meestal de rijomstandigheden buiten zijn zicht. Extrapolatie kan worden toegeschreven aan een methode waarbij gegevenswaarden worden behandeld als punten x1, x2 ..., xn, en vervolgens benadert de waarde de limiet van een bepaald bereik van punten.
Voordelen van gebruik:
- Een eenvoudige voorspellingsmethode.
- Er zijn niet veel gegevens vereist.
- Snelle en goedkope analyses.
De methode bestaat in statistieken. Als er periodiek waarden worden verwijderd, nadert het antwoord het volgende gegevenspunt. Een voorbeeld van een extrapolatiemethode is een weersvoorspelling, die de achtergrond van de gegevens onderzoekt en het voorspelde model van de toekomst extrapoleert. Een nog eenvoudiger voorbeeld, als u informatie hebt over zondag, maandag en dinsdag, kunt u woensdag of donderdag extrapoleren.
Nadelen van het gebruik van extrapolatie:
- Onbetrouwbaarheid, als er significante schommelingen in historische gegevens zijn.
- De veronderstelling dat de trend in het verleden in de toekomst zal doorgaan, is nauwelijks mogelijk in veel concurrerende zakelijke omgevingen.
- Negeert kwaliteitsfactoren, zoals veranderingen in smaak en mode.
Sequentie versnelling
Methoden voor extrapolatie zijn om een raaklijn aan het einde van bekende gegevens te maken en deze buiten dit gebied uit te breiden. Net als interpolatie, maakt extrapolatie gebruik van veel methoden die voorkennis vereisen van het proces dat de bestaande gegevenspunten maakt. De methode omvat lineaire en polynome extrapolatie, kegelsneden en Franse curve-extrapolatie.
In de regel wordt de kwaliteit van een bepaalde methode beperkt door aannames over de functie. In numerieke analyse is Richardson-extrapolatie een sequentieversnellingsmethode die wordt gebruikt om de convergentiesnelheid te verbeteren.Het is vernoemd naar Lewis Fry Richardson. Hij introduceerde de berekeningstechniek aan het begin van de 20e eeuw, waarvan het nut voor praktische berekeningen nauwelijks kan worden overschat.
Praktische toepassingen van Richardson-extrapolatie omvatten de Romberg-integratie, die deze toepast op de trapeziumregel en het Bulliers-Stoehr-algoritme om gewone differentiaalvergelijkingen op te lossen.
Lineaire methode
De lineaire extrapolatiemethode is handig wanneer een lineaire functie is opgegeven. Dit wordt gedaan door een raaklijn te trekken aan het eindpunt van een gegeven grafiek en deze verder uit te breiden. Deze extrapolatiemethode bij het voorspellen geeft goede resultaten wanneer het te voorspellen punt niet te ver van de gegevens verwijderd is. Lineaire interpolatie is handig bij het vinden van waarden tussen bepaalde punten. Het kan worden beschouwd als "het opvullen van de gaten" van de gegevenstabel.
Een lineaire interpolatiestrategie is om een rechte lijn te gebruiken om bekende waardepunten aan weerszijden van het onbekende te verbinden. Lineaire interpolatie is niet nauwkeurig voor niet-lineaire parameters. Als de punten in de gegevensset sterk veranderen, kan lineaire interpolatie een onjuiste schatting geven.
Lineaire extrapolatie kan helpen bij het schatten van waarden die hoger of lager zijn dan de waarden in de gegevensset. De strategie is om een subset van gegevens te gebruiken in plaats van de hele set. Voor dit type waarde is het handig om de extrapolatiemethode toe te passen bij het voorspellen met behulp van de laatste twee of drie punten om een waarde te schatten die het gegevensbereik overschrijdt.
Polynomiale en conische extrapolaties
Het is bekend dat drie punten een unieke polynoom geven. Een polynoomcurve kan worden voortgezet na het einde van dergelijke gegevens. Het wordt meestal uitgevoerd door de Newton-methode met een eindig verschil of met behulp van de Lagrange-interpolatieformule. Een polynoom van een hogere orde moet met de nodige voorzichtigheid worden geëxtrapoleerd, omdat er een grote kans op fouten is met polynoom extrapolatie. Als dit gebeurt, zal de schatting van de fout exponentieel toenemen met de mate van de polynoom.
In de wiskunde is minimale polynomiale extrapolatie een sequentietransformatie die wordt gebruikt om convergentie te versnellen. Hoewel de methode van Aitken het best bekend is, faalt deze vaak, vooral voor vectorsequenties. In dit geval wordt een iteratie uitgevoerd die de matrix construeert. De kolommen zijn verschillen.
Een extrapolatiemethode voor een conische sectie kan bijvoorbeeld worden gemaakt met behulp van 5 punten aangegeven aan het einde van de gegevens. In het geval dat het conische gedeelte een cirkel of een ellips is, zal het teruglopen en zich weer herenigen. Parabool of hyperbool kruisen elkaar nooit. Maar ze kunnen teruggebogen worden om de X-as. Extrapolatie van de kegel kan op papier worden gedaan met een conische sectie of met behulp van een computer.
Wiskundige evaluatiemethode
In deze extrapolatiemethode wordt de waarde voor de basisperiode voorspeld. De hieronder beschreven acties worden automatisch door het systeem uitgevoerd en zijn niet zichtbaar voor de gebruiker. De beschrijving is bedoeld om het algoritme te verfijnen, dat de verwachte waarden weergeeft van de hoeveelheid die in het systeem is opgeslagen en het resultaat van de metermeting voorspelt.
Extrapolatie met behulp van de definitie van het bedrag van de procedure wordt uitgevoerd met behulp van de functie: Yt = f (yi, t, aj).
Als basis voor extrapolatie worden de afgeronde gegevens van een typische basisperiode opgeslagen in de leesresultaten toegevoegd. Het systeem bepaalt het gewicht Yt van tijdreeksgegevens in t (tijd van de voorspellingsperiode) om de juiste oplossing te verkrijgen door extrapolatie. Waar op het referentiepunt yi wordt genomen - het niveau van de reeks en aj - de parameter van de trendvergelijking.
Voorspelling van functies
De methode voor het vaststellen van een statistische curve is van toepassing op voorspellingsfunctionaliteit.Statistische procedures komen overeen met de gegevens uit het verleden van een of meer wiskundige functies, zoals lineair, logaritmisch, Fourier of exponentieel. De beste worden geselecteerd door een statistische test. Vervolgens wordt deze voorspelling geëxtrapoleerd uit deze wiskundige verbinding door de methode van wiskundige extrapolatie. Een van de gemakkelijkste manieren om ruwe schattingen van toekomstige (of vroegere) omstandigheden te krijgen, is door gegevens te extrapoleren die in de loop van de tijd veranderen.
Als u bijvoorbeeld 20 jaar van tevoren een ruwe beoordeling van de toekomstige niveaus van verontreinigende stoffen in drinkwater moet maken, kunt u deze trend van de afgelopen 20 jaar extrapoleren. Hetzelfde wordt waargenomen als u in de toekomst de prevalentie van roken of longkanker moet schatten. Een voorspelling kan worden gedaan door trends van de afgelopen jaren te berekenen. Dit soort extrapolaties kan met minder complexe methoden worden uitgevoerd. In veel gevallen (vooral op het gebied van marketing en bedrijfsbeheer) wordt de extrapolatiemethode traditioneel gebruikt, bijvoorbeeld door de nieuwste gegevens te bekijken en intuïtief te evalueren wat er in de toekomst wordt bedoeld.
Op regels gebaseerde methoden kunnen ook worden gebruikt door een reeks vooraf gedefinieerde principes of verwachtingen toe te passen op basis van een voorlopig begrip van het systeem en rekening houdend met de nieuwste gegevens om toekomstige gebeurtenissen te interpreteren.
Bij elke extrapolatiemethode is voorzichtigheid belangrijk vanwege de aanwezigheid van talloze onzekerheden. Elke extrapolatieprocedure is gebaseerd op de veronderstelling dat betrouwbare informatie beschikbaar is in eerdere gegevens en kennis. Bijgevolg wordt de toekomst bepaald door dezelfde factoren die eerder hebben gehandeld.
Voorspellingsfouten
De misvatting van extrapolatie (meer bepaald de misvatting van ongerechtvaardigde extrapolatie) doet zich voor wanneer het fenomeen dat verantwoordelijk is voor een aantal triviale lokale effecten wordt gelezen als grote globale fenomenen. Een andere reden voor de fout is dat soms algemene regels worden afgeleid uit te weinig feiten. Darwins evolutietheorie is dus een fantastisch voorbeeld van de toepassing van de extrapolatiemethode, waarbij de mechanismen van willekeurige veranderingen en natuurlijke selectie worden aangekondigd om rekening te houden met de ontwikkeling van complexe structuren zoals het gezichtsvermogen van zoogdieren of het immuunsysteem van levende organismen.
Bij een poging om onderzoeksresultaten te interpreteren, moet de wetenschapper extrapolatie buiten het gegevensbereik vermijden en zich bewust zijn van de onderliggende veronderstellingen om te voorkomen dat ongeldige conclusies worden geaccepteerd. Over het algemeen is extrapolatie een legitiem wetenschappelijk hulpmiddel. Er zijn twee aspecten die helpen onderscheid te maken tussen geldige en foutieve extrapolatie. De kans op foutieve extrapolatie is groter wanneer punten voor onvoldoende gegevens zijn verkregen voor de constructie ervan.
Excel statistische hulpmiddelen
Om een verband te vinden tussen jaren en resultaten (bijvoorbeeld in een bedrijf), kunt u Excel gebruiken.
Voor deze taken worden statistische hulpmiddelen voor extrapolatiemodellering gebruikt die in alle versies van Excel zijn ingebouwd, beginnend met 97. Procedure:
- Voer bekende waarden in, bijvoorbeeld de totale omzet voor 2016-2017, als u deze voor 2018 en 2020 moet bepalen.
- Installeer Analysis, een functie die het gebruik van een invoegtoepassing vereist.
- Om het te installeren, pakt u uit het menu "Extra", "Add-ons".
- Controleer het venster van het analysehulpprogramma en bevestig met "OK".
- Meet de correlaties tussen twee reeksen.
- De extrapolatie die moet worden uitgevoerd, is alleen zinvol als er een duidelijke trend (correlatie) is tussen de twee reeksen getallen (jaren en verkopen) door de methode van het extrapoleren van trends.
- Gebruik het menu "Tools", "Analysis Utilities" om deze correlatie te meten.
- In de lijst "Analysis Tools" selecteert u "Correlation Analysis" en klikt u op "OK".
- Voer in het veld Invoerbereik het geanalyseerde bereik in, bijvoorbeeld A6: B18, Excel voegt het symbool "$" toe.
- Controleer in het gebied "Uitvoeropties" het uitvoerbereik en voer dit in het aangrenzende veld in.
- Bevestig met OK.
- Excel maakt een array van twee rijen in twee kolommen. Zoek de berekende waarde (bijvoorbeeld 0,981). Omdat deze waarde dicht bij 1 ligt, betekent dit dat er een sterke correlatie is tussen jaren en verkoopcijfers. Als de gebruiker een waarde dicht bij nul ontvangt, betekent dit dat de trend niet optreedt. In dit geval heeft extrapolatie geen zin.
- Een evaluatie van toekomstige waarden begint.
- Selecteer het gewenste bereik en klik op de knop "Grafiekwizard".
- Selecteer een grafiek (bijvoorbeeld puntenwolken) en klik op Voltooien.
Het gebruik van voortschrijdende gemiddelden
Deze twee extrapolatiemethoden omvatten het wijdverbreide gebruik van verkoopgegevens om de toekomst te voorspellen. De waarde van het voortschrijdend gemiddelde neemt een reeks gegevens en 'fluctueert' fluctuaties daarin. Het doel is om extrema van gegevens van periode tot periode te extraheren. Voortschrijdende gemiddelden worden vaak driemaandelijks of wekelijks berekend. Om toekomstige waarden te voorspellen, omvat extrapolatie het gebruik van trends die zijn vastgesteld door historische gegevens. De belangrijkste veronderstelling van extrapolatie is dat de steekproef in de toekomst zal worden voortgezet, tenzij feitelijk bewijs anders aangeeft. Om deze methoden in meer detail te begrijpen, kunt u een grafiek overwegen met de verkoop van gadgets voor grote bedrijven van 2012 tot 2015.
Deze berekenings-extrapolatiemethode toont het werkelijke verkoopcijfer. Zoals u kunt zien, varieert de totale hoeveelheid omzet van jaar tot jaar, hoewel u kunt raden (kijkend naar de gegevens) dat er een algemene trend is voor omzetgroei. De zwarte lijn toont het voortschrijdend gemiddelde. Dit wordt berekend door de laatste verkoopjaren toe te voegen (bijvoorbeeld Q1 + Q2 + Q3 + Q4) en vervolgens te delen door vier.
Deze methode maakt jaarlijkse wijzigingen glad en geeft een goed beeld van de algemene trend in de jaarlijkse omzet. Een voortschrijdend gemiddelde helpt om een groeitrend aan te geven, uitgedrukt als een percentage. Het is deze extrapolatie die als eerste zal worden gebruikt om het pad van toekomstige verkopen te voorspellen. Dit kan wiskundig worden gedaan met behulp van een spreadsheet. Als alternatief kan een geëxtrapoleerde trend eenvoudig op een grafiek worden getekend als een ruwe schatting.
Trendcorrelatie
De ene technologie is altijd de voorloper van de andere. Dit gebeurt wanneer de vooruitgang in de precursortechnologie kan worden overgenomen door de volgertechnologie. Wanneer dergelijke relaties bestaan, kan kennis van technologische veranderingen van voorgangers worden gebruikt om de voortgang van technologievolgers in de toekomst te voorspellen. Bovendien maakt extrapolatie van de voorloper het mogelijk de voortzetting van de follow-up te voorspellen na de tijdsvertraging.
In dit geval wordt de methode voor het extrapoleren van trends gebruikt, waarbij bijvoorbeeld de trends in de snelheid van militaire en transportvliegtuigen worden vergeleken. Een ander voorbeeld van voorspelling van trendcorrelaties is het voorspellen van de grootte en het vermogen van toekomstige computers op basis van de vooruitgang in micro-elektronische technologie. Soms hangt de technologie van volgers af van verschillende technologieën van voorlopers, maar niet van één voorganger.
Vaste combinaties van voorgangers kunnen de verandering in de reeks beïnvloeden, maar vaker zijn de combinaties niet vast en verschillen de ingangen van de voorgangers zowel in combinatie als in sterkte. Een verbetering van de vliegtuigsnelheid kan bijvoorbeeld optreden als gevolg van de verbetering van motoren, materialen, bedieningselementen, brandstof, aerodynamica en verschillende combinaties van deze factoren.
Een voorbeeld van een correlatieprognose verkregen door extrapolatie van trends: totale passagiersmijlen, totale geografische mijlen en gemiddeld landingsvermogen.Extrapolatie van statistisch bepaalde trends maakt een objectieve benadering van prognoses mogelijk. Deze aanpak heeft echter ernstige beperkingen en valkuilen. Fouten of onjuiste keuzes bij het bepalen van historische gegevens worden weerspiegeld in de voorspelling, waardoor de waarde ervan wordt verlaagd.
Toepassingen, attributen en limieten
De extrapolatiemethode behoort tot het veld van prognoses. Hij suggereert dat patronen die in het verleden bestonden in de toekomst zullen doorgaan, en dat deze patronen regelmatig zijn en kunnen worden gemeten. Met andere woorden, het verleden is een goede indicator voor de toekomst. Toepassingen zijn nuttig voor het ontwikkelen van basisgegevens.
Attributen en limieten zijn eenvoudige en goedkope rekenhulpmiddelen, evenals complexe theoretische modellen.
- Procesgegevens - grafieken en observaties.
- De sleutel is om een goede database te hebben en de structuur ervan te begrijpen.
- Techniek is de beste pasvorm, ratio enzovoort.
Tijdelijke standaard statistische procedures leiden niet tot een nauwkeurige selectie van trends die de voorspeller comfortabel kan extrapoleren, waarbij de voorspelling wordt uitgevoerd door extrapolatie. In dergelijke gevallen kan de voorspeller de statistische resultaten "aanpassen" met behulp van beoordelingsvermogen. Het kan ook statistieken volledig negeren en de hele trend extrapoleren op basis van oordeel.
Op deze manier gegenereerde voorspellingen zijn minder nauwkeurig dan statistische voorspellingen, maar niet noodzakelijk onbevredigend. Een voorbeeld van een dergelijke extrapolatie van een kwaliteitstrend is het voorspellen van de complexiteit van vliegtuigen. Pogingen om deze trend te kwantificeren zijn niet succesvol geweest. Maar het percentage beweegbare of verstelbare delen van het vliegtuig werd geëxtrapoleerd met de frequentie waarmee dergelijke elementen in het verleden werden geïntroduceerd. Deze voorspellingen waren redelijk nauwkeurig.
Specifieke technische veranderingen kunnen niet op deze manier worden voorspeld, maar de mate van verandering wel. Dit levert nuttige planningsmaterialen op, die wijzen op een trend in het verleden.