Složené slovo „extrapolace“ se skládá ze dvou jednoduchých slov. První v latině zní navíc a znamená „venku“, „pro“, „venku“. Druhý ve stejné latině zní polirně a znamená „změnit“, „narovnat“, „vyhladit“. Extrapolaci lze obecně definovat jako hodnotu mimo dva dané body. Má se za to, co se získá ze známých skutečností, které rozšiřují údaje v neznámé oblasti, aby bylo dosaženo zamýšleného výsledku. Tento koncept lze také připsat predikci obrazu budoucnosti, za předpokladu pravdivosti současných a minulých trendů.
Metoda extrapolace předpokládá, že data nebo pozorování v budoucnu budou i nadále podobná. Lze tedy předpovídat budoucí výsledky. Lze to považovat za matematickou hypotézu. Extrapolace využívá data a fakta konkrétní situace a poskytuje předpovědi o tom, co se nakonec může stát.
Historie extrapolace
Tato metoda je často označována jako Richardsonova extrapolace nebo Rombergova metoda. To však není zcela správné, protože po staletí existovaly podobné numerické metody řešení takových problémů. Slavný Richardson h2 (extrapolace pro numerické řešení) proto není první. Podobná metoda byla použitelná ve výpočtech Huygens již v roce 1654. Termín “extrapolace” sám byl nejprve vytvořen Thomasem D. Claresonem v roce 1959 v knize o vědě a beletrie.
Metody extrapolace lze chápat jako rozšíření dat nebo procesů, což naznačuje, že podobný proces bude použit mimo ně. Extrapolace je důležitý pojem používaný nejen v matematice, ale také v dalších oblastech, jako je sociologie, psychologie, předpovídání. Například řidič obvykle extrapoluje jízdní podmínky mimo svůj zrak. Extrapolaci lze připsat metodě, ve které jsou datové hodnoty považovány za body x1, x2 ..., xn, a poté se hodnota přiblíží k limitu daného rozsahu bodů.
Výhody použití:
- Jednoduchá metoda předpovídání.
- Není vyžadováno mnoho dat.
- Rychlá a levná analytika.
Metoda existuje ve statistice. Pokud jsou některé hodnoty pravidelně odstraňovány, odpověď se přiblíží k dalšímu datovému bodu. Příkladem metody extrapolace je předpověď počasí, která zkoumá pozadí dat a extrapoluje predikovaný model budoucnosti. Ještě jednodušší příklad, pokud máte informace o neděli, pondělí a úterý, můžete extrapolovat středu nebo čtvrtek.
Nevýhody použití extrapolace:
- Nespolehlivost, pokud existují významné výkyvy v historických údajích.
- Předpoklad, že minulý trend bude pokračovat i v budoucnu, je v mnoha konkurenčních obchodních prostředích stěží možný.
- Ignoruje faktory kvality, jako jsou změny vkusu a módy.
Zrychlení sekvence
Metody extrapolace je vytvoření tečné čáry na konci známých dat a její rozšíření za tuto oblast. Podobně jako interpolace, extrapolace používá mnoho metod, které vyžadují předchozí znalost procesu, který vytváří existující datové body. Metoda zahrnuje lineární a polynomiální extrapolaci, kuželosečky a extrapolaci francouzské křivky.
Kvalita konkrétní metody je zpravidla omezena předpoklady o funkci. V numerické analýze je Richardsonova extrapolace metoda zrychlení sekvence používaná ke zlepšení rychlosti konvergence.Je pojmenován po Lewis Fry Richardson. Počátkem 20. století představil výpočetní techniku, jejíž užitečnost pro praktické výpočty lze jen těžko přeceňovat.
Mezi praktické aplikace Richardsonovy extrapolace patří Rombergova integrace, která ji aplikuje na lichoběžníkové pravidlo a Bulliersův-Stoehrův algoritmus pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic.
Lineární metoda
Metoda lineární extrapolace je užitečná, pokud je zadána lineární funkce. To se provádí nakreslením tečné čáry v koncovém bodě daného grafu a jejím roztažením. Tato metoda extrapolace v predikci dává dobré výsledky, když bod, který má být předpovídán, není příliš daleko od údajů. Lineární interpolace je užitečná při hledání hodnot mezi danými body. Lze to považovat za „vyplnění mezer“ v datové tabulce.
Strategií lineární interpolace je použít přímku k propojení známých bodů hodnot na obou stranách neznámého. Lineární interpolace není přesná pro nelineární parametry. Pokud se body v sadě dat změní o velké množství, může lineární interpolace poskytnout nesprávný odhad.
Lineární extrapolace může pomoci odhadnout hodnoty, které jsou vyšší nebo nižší než hodnoty v sadě dat. Jeho strategií je použít podskupinu dat namísto celé sady. Pro tento typ hodnoty je užitečné použít metodu extrapolace při prognózování pomocí posledních dvou nebo tří bodů k odhadu hodnoty, která přesahuje rozsah dat.
Polynomiální a kuželové extrapolace
Je známo, že tři body dávají jedinečný polynom. Polynomiální křivka může pokračovat i po skončení těchto dat. Obvykle se provádí Newtonovou metodou s konečným rozdílem nebo pomocí Lagrangeovy interpolační rovnice. Polynom vyššího řádu by měl být extrapolován s náležitou péčí, protože existuje velká šance na chybu s polynomiální extrapolací. Pokud k tomu dojde, odhad chyby se zvýší exponenciálně se stupněm polynomu.
V matematice je minimální polynomiální extrapolace sekvenční transformace používaná k urychlení konvergence. Přestože je Aitkenova metoda nejznámější, často selhává, zejména pro vektorové sekvence. V tomto případě se provede iterace, která konstruuje matici. Její sloupce jsou rozdíly.
Například extrapolační metoda pro kuželovitý průřez může být provedena za použití 5 bodů označených na konci dat. V případě, že kuželová část je kruh nebo elipsa, bude se smyčka zpět a znovu se sejít. Parabola nebo hyperbola se nikdy neprotínají. Mohou se však ohnout zpět kolem osy X. Extrapolaci kužele lze provést na papíře s kuželovou částí nebo pomocí počítače.
Metoda matematického hodnocení
V této extrapolační metodě se předpovídá hodnota pro základní období. Níže uvedené akce jsou automaticky prováděny systémem a nejsou pro uživatele viditelné. Popis je určen k upřesnění algoritmu, který zobrazuje očekávané hodnoty z množství uloženého v systému a předpovídá výsledek měření elektroměru.
Extrapolace pomocí definice množství procedury se provádí pomocí funkce: Yt = f (yi, t, aj).
Jako základ pro extrapolaci se přidají zaokrouhlená data typické základní periody uložené ve výsledcích čtení. Systém stanoví váhu Yt dat časových řad vt (čas prognózovaného období), aby se získalo správné řešení extrapolací. Kde se berou v referenčním bodě yi - úroveň řady a aj - parametr rovnice trendu.
Předpovědi funkce
Metoda stanovení statistické křivky je použitelná pro předpovídání funkčnosti.Statistické postupy odpovídají minulým datům jedné nebo více matematických funkcí, jako je lineární, logaritmická, Fourierova nebo exponenciální. Nejlepší jsou vybíráni statistickým testem. Pak je tato předpověď extrapolována z tohoto matematického spojení metodou matematické extrapolace. Jedním z nejjednodušších způsobů, jak získat hrubé odhady budoucích (nebo minulých) podmínek, je extrapolovat data, která se v průběhu času mění.
Například, pokud potřebujete hrubě posoudit budoucí úroveň znečišťujících látek v pitné vodě po dobu 20 let předem, můžete tento trend extrapolovat z posledních 20 let. Totéž je pozorováno, pokud potřebujete odhadnout prevalenci kouření nebo rakoviny plic v pozadí v budoucnosti. Prognózu lze vytvořit výpočtem trendů v posledních letech. Extrapolace tohoto typu lze provést pomocí méně složitých metod. V mnoha případech (zejména v oblasti marketingu a řízení podniku) se metoda extrapolace tradičně používá například prohlížením nejnovějších dat a intuitivním vyhodnocováním toho, co se myslí v budoucnosti.
Metody založené na pravidlech lze také použít aplikací sady předdefinovaných principů nebo očekávání založených na předběžném porozumění systému a při zohlednění nejnovějších údajů k interpretaci budoucích událostí.
U každé metody extrapolace je opatrnost důležitá kvůli přítomnosti četných nejistot. Jakýkoli postup extrapolace je založen na předpokladu, že spolehlivé informace jsou k dispozici v minulých datech a znalostech. Budoucnost je tedy určována stejnými faktory, které dříve působily.
Chyby předpovědi
Klam k extrapolaci (přesněji klam k neoprávněné extrapolaci) nastává, když je fenomén zodpovědný za řadu triviálních lokálních efektů považován za velký globální jev. Dalším důvodem chyby je skutečnost, že zobecněná pravidla jsou odvozena z příliš malého počtu faktů. Darwinova evoluční teorie je tedy fantastickým příkladem použití metody extrapolace, při níž se oznamují mechanismy náhodných změn a přirozeného výběru, aby se zohlednil vývoj takových složitých struktur, jako je vidění savců nebo imunitní systém živých organismů.
Při pokusu o interpretaci výsledků výzkumu by se měl vědec vyvarovat extrapolace mimo datový rozsah a být si vědom základních předpokladů, aby se vyhnul akceptování neplatných závěrů. Extrapolace je obecně legitimním vědeckým nástrojem. Existují dva aspekty, které pomáhají rozlišovat mezi platnou a chybnou extrapolací. Pravděpodobnost chybné extrapolace je vyšší, když byly získány body za nedostatečné údaje pro její konstrukci.
Statistické nástroje Excel
Chcete-li najít korelaci mezi lety a výsledky (například v podnikání), můžete použít Excel.
Pro tyto úkoly se používají statistické nástroje pro extrapolační modelování zabudované do všech verzí aplikace Excel, počínaje 97. Postup:
- Zadejte známé hodnoty, například celkový prodej za období 2016–2017, pokud je potřebujete určit pro roky 2018 a 2020.
- Nainstalujte analýzu, což je funkce, která vyžaduje použití doplňku.
- Chcete-li jej nainstalovat, vyjměte z nabídky „Nástroje“, „Doplňky“.
- Zkontrolujte okno analytického nástroje a potvrďte „OK“.
- Změřte korelace mezi dvěma řadami.
- Extrapolace, kterou je třeba provést, má smysl pouze tehdy, existuje-li jasný trend (korelace) mezi dvěma sadami čísel (roky a prodeje) metodou extrapolace trendů.
- K měření této korelace použijte nabídku „Nástroje“, „Nástroje analýzy“.
- V seznamu „Analytické nástroje“ vyberte „Korelační analýza“ a klikněte na „OK“.
- Do pole Vstupní rozsah zadejte analyzovaný rozsah, například A6: B18, Excel přidá symbol „$“.
- V oblasti „Možnosti výstupu“ zkontrolujte výstupní rozsah a zadejte jej do sousedního pole.
- Potvrďte tlačítkem OK.
- Excel vytvoří pole dvou řádků ve dvou sloupcích. Najděte vypočítanou hodnotu (například 0,981). Protože se tato hodnota blíží hodnotě 1, znamená to, že existuje silná korelace mezi roky a údaji o prodeji. Pokud uživatel obdrží hodnotu blízkou nule, bude to znamenat, že trend nenastane. V tomto případě nemá extrapolace smysl.
- Začne se vyhodnocování budoucích hodnot.
- Vyberte požadovaný rozsah a klikněte na tlačítko "Průvodce grafem".
- Vyberte graf (například bodové mraky) a klikněte na Dokončit.
Použití klouzavých průměrů
Tyto dvě metody extrapolace zahrnují rozšířené použití údajů o prodeji k předpovídání budoucnosti. Klouzavá průměrná hodnota bere řadu dat a „vyhlazuje“ výkyvy v nich. Cílem je extrahovat extrémy dat z období na období. Klouzavé průměry se často počítají čtvrtletně nebo týdně. Abychom předpovídali budoucí hodnoty, zahrnuje extrapolace použití trendů stanovených historickými údaji. Hlavním předpokladem extrapolace je, že vzorek bude pokračovat i v budoucnu, pokud skutečné důkazy neuvedou jinak. Chcete-li těmto metodám porozumět podrobněji, zvažte graf znázorňující prodej miniaplikací pro velké podniky od roku 2012 do roku 2015.
Tato metoda výpočtu extrapolace ukazuje skutečné číslo prodeje. Jak vidíte, celková částka prodeje se z roku na rok liší, i když můžete (při pohledu na data) hádat, že existuje obecný trend růstu prodeje. Černá čára ukazuje klouzavý průměr. Vypočítá se sčítáním posledních let tržeb (např. Q1 + Q2 + Q3 + Q4) a poté vydělením čtyřmi.
Tato metoda vyhlazuje roční změny a poskytuje dobrou představu o obecném trendu ročního prodeje. Klouzavý průměr pomáhá indikovat trend růstu vyjádřený v procentech. Je to tato extrapolace, která bude použita jako první k predikci cesty budoucího prodeje. To lze provést matematicky pomocí tabulky. Alternativně lze extrapolovaný trend jednoduše vykreslit do grafu jako hrubý odhad.
Trendová korelace
Jedna technologie je vždy předchůdcem jiné. To se stane, když pokroky v technologii prekurzorů mohou být přijaty technologií následovníků. Pokud takové vztahy existují, mohou být znalosti o změnách v technologii předchůdců použity k predikci pokroku technologických následovníků v budoucnosti. Navíc extrapolace prekurzoru umožňuje predikci pokračování sledování po časovém zpoždění.
V tomto případě se používá metoda extrapolace trendů, při které se porovnávají například trendy v rychlosti vojenských a dopravních letadel. Dalším příkladem predikce korelace trendů je predikce velikosti a síly budoucích počítačů na základě pokroku v mikroelektronické technologii. Někdy technologie následovníků závisí na několika technologiích předchůdců, ale ne na jednom předchůdci.
Pevné kombinace předchůdců mohou ovlivnit změnu v sekvenci, ale častěji nejsou kombinace pevné a vstupy předchůdců se liší jak kombinací, tak silou. Například může dojít ke zvýšení rychlosti letadla v důsledku vylepšení motorů, materiálů, ovládacích prvků, paliva, aerodynamiky a různých kombinací těchto faktorů.
Příklad korelační prognózy získané extrapolačními trendy: celkové kilometry cestujících, celkové zeměpisné kilometry a průměrná přistávací síla.Extrapolace statisticky stanovených trendů umožňuje objektivní přístup k prognózování. Tento přístup má však vážná omezení a úskalí. Jakékoli chyby nebo nesprávné volby při určování historických údajů se projeví v prognóze, což snižuje její hodnotu.
Aplikace, atributy a limity
Metoda extrapolace patří do oblasti predikce. Navrhuje, že vzorce, které existovaly v minulosti, budou pokračovat i do budoucna a že tyto vzorce jsou pravidelné a lze je měřit. Jinými slovy, minulost je dobrým ukazatelem budoucnosti. Aplikace jsou užitečné pro vývoj základních dat.
Atributy a limity jsou jednoduché a levné nástroje pro výpočet, jakož i složité teoretické modely.
- Procesní data - grafy a pozorování.
- Klíčem je dobrá databáze a pochopení struktury v ní.
- Technika je nejvhodnější, poměr a tak dále.
Dočasné standardní statistické postupy nevedou k přesnému výběru trendů, které může Forecaster pohodlně extrapolovat, přičemž prognózu provádí extrapolací. V takových případech může Forecaster statistické výsledky „upravit“ pomocí úsudku. Může také zcela ignorovat statistiky a extrapolovat celý trend na základě úsudku.
Prognózy generované tímto způsobem jsou méně přesné než statistické prognózy, ale nemusí být neuspokojivé. Jedním příkladem takové extrapolace trendu kvality je předpovídání složitosti letadel. Pokusy kvantifikovat tento trend nebyly úspěšné. Procento pohyblivých nebo nastavitelných částí letadla však bylo extrapolováno frekvencí, s jakou byly takové prvky v minulosti zavedeny. Tyto předpovědi byly poměrně přesné.
Tímto způsobem nelze předvídat konkrétní technické změny, ale stupeň změny je možné. To poskytuje užitečné plánovací materiály, což naznačuje trend v minulém chování.