Multivarijantna analiza varijance

Analiza varijance je skup statističkih metoda namijenjenih ispitivanju hipoteza o odnosu između određenih znakova i faktora koji se proučavaju, a koji nemaju kvantitativni opis, kao i za utvrđivanje stupnja utjecaja faktora i njihove interakcije. U specijaliziranoj literaturi često se naziva ANOVA (od engleskog naziva Analysis of Variations). Ovu je metodu prvi put razvio R. Fisher 1925. godine.

Vrste i kriteriji analize varijance

Ova metoda se koristi za proučavanje odnosa kvalitativnih (nominalnih) atributa i kvantitativne (kontinuirane) varijable. U stvari, on testira hipotezu da je aritmetička sredina nekoliko uzoraka jednaka. Stoga se može smatrati parametrijskim kriterijem za usporedbu središta nekoliko uzoraka odjednom. Ako koristite ovu metodu za dva uzorka, tada će rezultati analize varijance biti identični rezultatima t-testa učenika. Međutim, za razliku od drugih kriterija, ova nam studija omogućuje detaljnije proučavanje problema.

Analiza odstupanja u statistici temelji se na zakonu: zbroj kvadrata odstupanja kombiniranog uzorka jednak je zbroju kvadrata međugrupnih odstupanja i zbroju kvadrata međugrupnih odstupanja. Za istraživanje se koristi Fisherov test kako bi se utvrdila značaj razlike između varijacija među skupinama od varijacija unutar skupina. Međutim, za to su nužni preduvjeti normalna raspodjela i homoskadastičnost (jednakost varijacija) uzoraka. Razlikovati analizu varijance jednodimenzionalne (univarijatne) i multivarijantnu (multivarijantnu). Prva razmatra ovisnost proučavane količine o jednom atributu, druga - odmah o mnogim, a također vam omogućuje prepoznavanje odnosa između njih.

čimbenici

Čimbenici se nazivaju kontroliranim okolnostima koje utječu na krajnji rezultat. Njegova razina ili način obrade naziva se vrijednost koja karakterizira specifičnu manifestaciju ovog stanja. Ti se brojevi najčešće daju u nominalnoj ili serijskoj skali. Često se vrijednosti izlaza mjere u kvantitativnoj ili ordinalnoj skali. Tada nastaje problem grupiranja izlaznih podataka u niz promatranja, koji odgovaraju približno istim numeričkim vrijednostima. Ako se smatra da je broj skupina pretjerano velik, tada broj opažanja u njima može biti nedovoljan za dobivanje pouzdanih rezultata. Ako uzmete ovaj broj premali, to može dovesti do gubitka značajnih značajki utjecaja na sustav. Specifični način grupiranja podataka ovisi o volumenu i prirodi varijacije vrijednosti. Broj i veličina intervala u jednosmjernoj analizi najčešće se određuju principom jednakih intervala ili principom jednakih frekvencija.

Analiza varijancijskih problema

Dakle, postoje slučajevi kada trebate usporediti dva ili više uzoraka. Tada je preporučljivo korištenje analize varijance. Naziv metode upućuje na to da se zaključci izvode iz proučavanja komponenata varijance. Suština studije je da je opća promjena pokazatelja podijeljena na sastavne dijelove koji odgovaraju djelovanju svakog pojedinog faktora. Razmotrite niz problema koje rješava tipična analiza varijance.

Primjer 1

Radionica ima niz alatnih strojeva - automatskih strojeva koji proizvode određeni dio. Veličina svakog dijela je slučajna vrijednost, koja ovisi o postavkama svakog stroja i slučajnim odstupanjima koja se javljaju tijekom izrade dijelova.Potrebno je utvrditi jesu li strojevi jednako konfigurirani prema mjerenjima dimenzija dijelova.

Primjer 2

Tijekom proizvodnje električnih uređaja koriste se razne vrste izolacijskog papira: kondenzator, električni itd. Uređaj se može impregnirati raznim tvarima: epoksidnom smolom, lakom, ML-2 smolom itd. Propuste se mogu ukloniti pod vakuumom pod visokim tlakom, grijanjem. Može se impregnirati uranjanjem u lak, pod neprekidnim tokom laka itd. Električni aparat u cjelini izlije se s određenim spojem, za koji postoji nekoliko mogućnosti. Pokazatelji kvalitete su dielektrična čvrstoća izolacije, temperatura pregrijavanja namotaja u režimu rada i niz drugih. Tijekom ispitivanja tehnološkog procesa izrade uređaja, potrebno je utvrditi kako svaki od navedenih čimbenika utječe na rad aparata.

Primjer 3

Trolejbusko skladište služi nekoliko trolejbuskih ruta. Za njih rade razne vrste trolejbusa, a naplatu voznih karata prikuplja 125 kontrolora. Uprava depoa zanima pitanje: kako usporediti ekonomski učinak svakog kontrolora (prihod) uzimajući u obzir različite rute, različite vrste trolejbusa? Kako odrediti ekonomsku izvedivost puštanja određene vrste trolejbusa na određenu rutu? Kako uspostaviti razumne zahtjeve za visinom prihoda koji kondukter donosi na svakoj relaciji u različitim vrstama trolejbusa?

Zadatak odabira metode je kako dobiti maksimalne informacije o utjecaju na krajnji rezultat svakog faktora, odrediti numeričke karakteristike takvog učinka, njihovu pouzdanost uz najnižu cijenu i u najkraćem mogućem roku. Takvi se problemi mogu riješiti analizom varijancijskih metoda.

Jednosmjerna analiza

Cilj studije je procijeniti veličinu učinka pojedinog slučaja na analizirani pregled. Drugi zadatak jednosmjerne analize može biti usporedba dviju ili više okolnosti kako bi se utvrdila razlika u njihovom učinku na opoziv. Ako se ništavna hipoteza odbaci, sljedeći korak bit će kvantitativna procjena i izgradnja intervala pouzdanosti za dobivene karakteristike. U slučaju kada nulta hipoteza Ne može se odbaciti, obično se prihvaća i izvodi se zaključak o suštini utjecaja.

Univarijatna analiza varijance može postati neparametrijski analognik metode Kraskel-Wallisova ranga. Razvili su ga američki matematičar William Kraskel i ekonomist Wilson Wallis 1952. Ovaj kriterij dodijeljen je ispitivanju nulte hipoteze da su učinci na ispitivane uzorke jednaki nepoznatim, ali jednakim prosječnim vrijednostima. Broj uzoraka trebao bi biti više od dva.

Jonkhier-ov kriterij (Jonkhier-Terpstra) predložili su neovisno nizozemski matematičar T. J. Terpstrom 1952. i britanski psiholog E. R. Jonkhier 1954. Koristi se kad se unaprijed zna da su raspoložive grupe rezultata naručili porast utjecaja ispitivanog faktora koji se mjeri redoslijedom.

M - Bartlettov test koji je 1937. godine predložio britanski statističar Maurice Stevenson Bartlett koristi se za ispitivanje nulte hipoteze o jednakosti varijacija nekoliko normalnih općih populacija iz kojih su uzeti ispitivani uzorci, a koji uglavnom imaju različite količine (broj svakog uzorka trebao bi biti najmanje četiri ).

G je Cochrenov test, koji je otkrio Amerikanac William Gemmel Cochren 1941. Koristi se za testiranje nulte hipoteze da su varijance normalnih općih populacija jednake za neovisne uzorke jednake zapremine.

Neparametrični Leveneov kriterij, koji je 1960. godine predložio američki matematičar Howard Levene, alternativa je Bartlettovom kriteriju u uvjetima kada ne postoji sigurnost da ispitivani uzorci poštuju normalnu distribuciju.

1974. američki statističari Morton B. Brown i Alan B. Forsyth predložili su test (Brown-Forsytheov kriterij), koji se donekle razlikuje od Leuvenovog kriterija.

Analiza s dva faktora

Za spojene normalno raspodijeljene uzorke koristi se dvosmjerna analiza varijance. U praksi se često koriste složene tablice ove metode, posebno one u kojima svaka ćelija sadrži skup podataka (ponovljena mjerenja) koji odgovaraju vrijednostima fiksne razine. Ako pretpostavke potrebne za primjenu dvosmjerne analize varijance nisu ispunjene, tada se koristi neparametrični Friedmanov kriterij za rangiranje (Friedman, Kendall i Smith) koji je razvio američki ekonomist Milton Friedman krajem 1930. Taj je kriterij neovisan o vrsti distribucije.

Pretpostavlja se samo da je raspodjela količina ista i kontinuirana, a neovisne su jedna o drugoj. Prilikom ispitivanja nulte hipoteze, izlaz se prikazuje u obliku pravokutne matrice u kojoj redovi odgovaraju razinama faktora B, a stupci odgovaraju razinama A. Svaka ćelija tablice (blok) može biti rezultat mjerenja parametara na jednom objektu ili na grupi objekata s konstantnim vrijednostima razina oba faktora , U ovom se slučaju odgovarajući podaci daju kao prosječne vrijednosti određenog parametra za sva mjerenja ili predmete ispitivanog uzorka. Za primjenu kriterija izlaznih podataka potrebno je prebaciti s rezultata izravnih mjerenja na njihov rang. Poredak se provodi za svaki red zasebno, to jest, vrijednosti se poredaju za svaku fiksnu vrijednost.

Kriterij stranice (L-kriterij), koji je 1963. godine predložio američki statističar E. B. Page, namijenjen je ispitivanju ništavne hipoteze. Za velike uzorke koristi se aproksimacija stranice. Oni, podložni stvarnosti odgovarajućih nulta hipoteza, pokoravaju se uobičajenoj normalnoj distribuciji. U slučaju kada redovi izvorne tablice imaju iste vrijednosti, potrebno je upotrijebiti prosječne redove. Štoviše, točnost zaključaka bit će lošija, to će više biti takvih slučajnosti.

Q je Cochrenov kriterij koji je V. Cohren predložio 1937. Koristi se u slučajevima kada su skupine homogenih subjekata izložene više od dva i za koja su moguća dva odgovora - uvjetno negativni (0) i uvjetno pozitivni (1) , Nulta hipoteza sastoji se od jednakih učinaka utjecaja. Dvosmjerna analiza varijancije omogućava utvrđivanje postojanja efekata obrade, ali ne omogućava utvrđivanje za koje stupce taj efekt postoji. Da bi se riješio taj problem, koristi se metoda više Sheffeovih jednadžbi za spojene uzorke.

Multivarijantna analiza

Zadatak multivarijantne analize varijance nastaje kada je potrebno utvrditi utjecaj dva ili više uvjeta na određenu slučajnu varijablu. Studija predviđa prisustvo jedne ovisne slučajne varijable, mjerene na skali razlike ili odnosa, i nekoliko neovisnih varijabli, od kojih je svaka izražena skalom imena ili rangom. Analiza podataka o varijanci prilično je razvijen odjeljak matematičke statistike, koji ima puno mogućnosti. Koncept istraživanja zajednički je i za jednofaktorski i za više faktor. Njegova je suština da je ukupna varijanca podijeljena na komponente, što odgovara određenoj grupi podataka. Svako grupiranje podataka ima svoj model.Ovdje ćemo razmotriti samo osnovne odredbe potrebne za razumijevanje i praktičnu uporabu njegovih najčešće korištenih opcija.

Analiza varijance faktora zahtijeva prilično pažljiv odnos prema prikupljanju i predstavljanju ulaznih podataka, a posebno prema interpretaciji rezultata. Za razliku od jedno-faktora, čiji se rezultati mogu proizvoljno smjestiti u određeni niz, rezultati dva faktora zahtijevaju složeniju reprezentaciju. Još je teža situacija kad postoje tri, četiri ili više okolnosti. Zbog toga su više od tri (četiri) uvjeta rijetko uključeni u model. Primjer je pojava rezonancije kod određene vrijednosti kapacitivnosti i induktivnosti električnog kruga; manifestacija kemijske reakcije s određenim nizom elemenata od kojih je sustav izgrađen; pojava anomalijskih učinaka u složenim sustavima uz određenu podudarnost okolnosti. Prisutnost interakcije može u osnovi promijeniti model sustava i ponekad dovesti do preispitivanja prirode pojava s kojima se eksperimentator bavi.

Multivarijantna analiza varijance s ponovljenim eksperimentima

Podaci mjerenja često se mogu grupirati ne po dva, već po većem broju faktora. Dakle, ako uzmemo u obzir analizu varijancije radnog vijeka guma kotača trolejbusa uzimajući u obzir okolnosti (proizvođač i rutu na kojoj se pokreću gume), tada možemo razlikovati godišnje doba u kojem gume rade (naime, zimski i ljetni rad) kao poseban uvjet. Kao rezultat toga, imat ćemo zadatak trofaktorske metode.

Ako ima više uvjeta, pristup je isti kao u dvofaktorskoj analizi. U svim slučajevima pokušavaju pojednostaviti model. Fenomen interakcije dvaju čimbenika se ne manifestira tako često, a trostruka interakcija događa se samo u iznimnim slučajevima. Oni uključuju interakciju za koju postoje prethodne informacije i dobri razlozi da se oni uzmu u obzir u modelu. Postupak izolacije pojedinih čimbenika i njihovo uzimanje u obzir relativno je jednostavan. Stoga često postoji želja istaknuti više okolnosti. To se ne smije oduzeti. Što više uvjeta, model postaje manje pouzdan i veća je vjerojatnost pogreške. Sam model, koji uključuje veliki broj neovisnih varijabli, postaje dovoljno težak za tumačenje i neugodan za praktičnu upotrebu.

Opća ideja analize varijance

Analiza odstupanja u statistici je metoda dobivanja rezultata promatranja koji su ovisni o različitim istodobno postojećim okolnostima i procjene njihovog utjecaja. Kontrolirana varijabla koja odgovara metodi utjecaja na predmet proučavanja i u određenom vremenskom periodu dobije određenu vrijednost naziva se faktorom. Oni mogu biti kvalitativni i kvantitativni. Razine kvantitativnih uvjeta dobivaju određenu vrijednost na numeričkoj ljestvici. Primjeri su temperatura, tlak, količina tvari. Kvalitativni čimbenici su različite tvari, različite tehnološke metode, uređaji, punila. Njihova razina odgovara ljestvici imena.

Kvaliteta također može uključivati ​​vrstu ambalažnog materijala, uvjete čuvanja doznog oblika. Također je racionalno pripisati stupanj mljevenja sirovina, frakcijski sastav granula koji su od kvantitativnog značaja, ali ih je teško kontrolirati ako se koristi kvantitativna ljestvica. Broj faktora kvalitete ovisi o vrsti oblika doziranja, kao io fizikalnim i tehnološkim svojstvima ljekovitih tvari. Na primjer, tablete se mogu dobiti iz kristalnih tvari izravnim prešanjem. U ovom je slučaju dovoljno napraviti izbor kliznih i maziva.

Primjeri kvalitativnih čimbenika za različite vrste doznih oblika

• Tinkture. Sastav ekstrakta, vrsta ekstraktora, metoda pripreme sirovina, metoda proizvodnje, metoda filtriranja.
• Ekstrakti (tekući, gusti, suhi). Sastav ekstrakta, metoda ekstrakcije, vrsta instalacije, metoda uklanjanja ekstraktanta i balastnih tvari.
• Tablete. Sastav pomoćnih sredstava, punila, sredstava za raspadanje, veziva, maziva i kliznih sredstava. Način proizvodnje tableta, vrsta opreme za obradu. Vrsta školjke i njenih komponenata, oblikovatelji filmova, pigmenti, boje, plastifikatori, otapala.
• Injekcijske otopine. Vrsta otapala, metoda filtracije, priroda stabilizatora i konzervansa, uvjeti sterilizacije, metoda punjenja ampula.
• Čepići. Sastav baze čepića, postupak proizvodnje čepića, punila, pakiranja.
• Mast. Sastav baze, strukturne komponente, način pripreme masti, vrsta opreme, pakiranje.
• Kapsule. Vrsta materijala za školjke, način proizvodnje kapsula, vrsta plastifikatora, konzervans, boja.
• Mazila. Način pripreme, sastav, vrsta opreme, vrsta emulgatora.
• Ovjes. Vrsta otapala, vrsta stabilizatora, metoda disperzije.

Primjeri kvalitativnih faktora i njihovih razina proučavani u procesu proizvodnje tableta

• Prašak za pecivo. Krompirni škrob, bijela glina, mješavina natrijevog bikarbonata s limunskom kiselinom, osnovnim magnezijevim karbonatom.
• Otopina za vezanje. Voda, škrobna pasta, šećerni sirup, otopina metil celuloze, hidroksipropil otopina metil celuloze, otopina polivinil pirolidona, otopina polivinil alkohola.
• Klizajuća tvar. Aerosil, škrob, talk.
• Popunjavanje. Šećer, glukoza, laktoza, natrijev klorid, kalcijev fosfat.
• Maziva. Stearinska kiselina, polietilen glikol, parafin.

Analiza varijancijskih modela u istraživanju konkurentnosti države

Jedan od najvažnijih kriterija za ocjenu stanja države, koji ocjenjuje razinu njezinog blagostanja i socio-ekonomskog razvoja, je konkurentnost, odnosno skup svojstava svojstvenih nacionalnoj ekonomiji koji određuju sposobnost države da se natječe s drugim zemljama. Utvrdivši mjesto i ulogu države na globalnom tržištu, možemo uspostaviti jasnu strategiju za osiguranje ekonomska sigurnost na međunarodnoj razini, jer je to ključ pozitivnih odnosa između Rusije i svih aktera na svjetskom tržištu: investitora, vjerovnika, državnih vlada.

Za usporedbu razine konkurentnosti zemalja, zemlje se rangiraju pomoću složenih indeksa, koji uključuju različite ponderirane pokazatelje. U osnovu tih indeksa položeni su ključni čimbenici koji utječu na ekonomsku, političku itd. Situaciju. Skup modela za proučavanje konkurentnosti države predviđa upotrebu multivarijantnih metoda statističke analize (posebno analiza varijance (statistika), ekonometrijsko modeliranje, donošenje odluka) i uključuje sljedeće glavne korake:

1. Formiranje sustava pokazatelja-pokazatelja.
2. Procjena i predviđanje pokazatelja konkurentnosti države.
3. Usporedba pokazatelja-pokazatelja konkurentnosti država.

Sada razmotrimo sadržaj modela svake od faza ovog kompleksa.

U prvoj fazi Pomoću metoda stručnih studija formira se opravdan skup ekonomskih pokazatelja-pokazatelja za ocjenu konkurentnosti države uzimajući u obzir specifičnosti njegovog razvoja na temelju međunarodnih ocjena i podataka statističkih odjela koji odražavaju stanje sustava u cjelini i njegovih procesa.Izbor ovih pokazatelja opravdava se potrebom odabira onih koji najcjelovitije s gledišta prakse omogućuju utvrđivanje razine države, njezine investicijske atraktivnosti i mogućnosti relativne lokalizacije postojećih potencijalnih i stvarnih prijetnji.

Glavni pokazatelji-pokazatelji međunarodnih sustava ocjenjivanja su indeksi:

1. Globalna konkurentnost (IGC).
2. Ekonomska sloboda (IES).
3. Ljudski razvoj (HDI).
4. Percepcija korupcije (CPI).
5. Unutarnje i vanjske prijetnje.
6. Potencijal međunarodnog utjecaja (IPMV).

Druga faza Omogućuje procjenu i predviđanje pokazatelja konkurentnosti države prema međunarodnim ocjenama za proučavanih 139 zemalja svijeta.

Treća faza pruža usporedbu uvjeta konkurentnosti država koristeći metode korelacijska i regresijska analiza.

Korištenjem rezultata studije moguće je utvrditi prirodu procesa u cjelini i po pojedinim komponentama konkurentnosti države; testirati hipotezu o utjecaju faktora i njihovoj povezanosti s odgovarajućim nivo značajnosti.

Provedba predloženog skupa modela omogućit će ne samo procjenu trenutne situacije razine konkurentnosti i investicijske atraktivnosti država, već i analizu slabosti upravljanja, sprječavanje pogrešaka pogrešnih odluka i sprečavanje razvoja krize u državi.