Multivariat variansanalys

Variansanalys är en uppsättning statistiska metoder utformade för att testa hypoteser om förhållandet mellan vissa tecken och de faktorer som studeras, som inte har en kvantitativ beskrivning, samt för att fastställa graden av påverkan av faktorer och deras interaktion. I den specialiserade litteraturen kallas det ofta ANOVA (från det engelska namnet Analys av variationer). Denna metod utvecklades först av R. Fisher 1925.

Typer och kriterier för analys av varians

Denna metod används för att studera förhållandet mellan kvalitativa (nominella) attribut och en kvantitativ (kontinuerlig) variabel. Han testar faktiskt hypotesen att det aritmetiska medelvärdet för flera prover är lika. Således kan det betraktas som ett parametriskt kriterium för att jämföra centrum för flera prover på en gång. Om du använder den här metoden för två prover, kommer resultaten av analysen av varians vara identiska med resultaten från t-studenttestet. Till skillnad från andra kriterier tillåter denna studie oss dock att studera problemet mer detaljerat.

Variansanalys i statistik baseras på lagen: summan av kvadraterna för avvikelserna för det kombinerade provet är lika med summan av kvadraterna för intragruppavvikelserna och summan av kvadraterna för mellangruppavvikelserna. För studien används Fisher-testet för att fastställa betydelsen av skillnaden mellan intergruppavvikelser från intragruppavvikelser. För detta är emellertid de nödvändiga förutsättningarna den normala fördelningen och homoskedasticiteten (jämlikhet av varians) av proverna. Skillnad mellan endimensionell (univariat) variansanalys och multivariat (multivariat). Den första överväger beroende av den studerade mängden på ett attribut, det andra - omedelbart på många, och låter dig också identifiera förhållandet mellan dem.

faktorer

Faktorer kallas kontrollerade omständigheter som påverkar slutresultatet. Dess nivå eller bearbetningsmetod kallas det värde som kännetecknar den specifika manifestationen av detta tillstånd. Dessa nummer ges vanligtvis i en nominell eller seriell skala. Ofta mäts utgångsvärden i kvantitativa eller ordinära skalor. Sedan uppstår problemet med att gruppera utgångsdata i en serie observationer, som motsvarar ungefär samma numeriska värden. Om antalet grupper anses vara alltför stort kan antalet observationer i dem vara otillräckligt för att få tillförlitliga resultat. Om du tar antalet för litet kan det leda till att betydande funktioner påverkas på systemet. Det specifika sättet för data grupperas beror på volymen och arten av variationen i värdena. Antalet och storleken på intervall i envägsanalys bestäms ofta av principen om lika intervaller eller av principen om lika frekvenser.

Analys av variansproblem

Så det finns fall där du behöver jämföra två eller flera prover. Det är då användningen av variansanalyser är tillrådlig. Metodens namn indikerar att slutsatser dras från studien av komponenterna i variansen. Kärnan i studien är att den allmänna förändringen i indikatorn är uppdelad i komponentdelar som motsvarar handlingen för varje enskild faktor. Tänk på ett antal problem som en typisk variansanalys löser.

Exempel 1

Verkstaden har ett antal maskinverktyg - automatmaskiner som producerar en specifik del. Storleken på varje del är ett slumpmässigt värde, vilket beror på inställningarna för varje maskin och slumpmässiga avvikelser som inträffar under tillverkningen av delar.Det är nödvändigt att bestämma om maskinerna är lika konfigurerade enligt måtten på delarnas dimensioner.

Exempel 2

Under tillverkningen av den elektriska apparaten används olika typer av isolerande papper: kondensator, elektrisk etc. Apparaten kan impregneras med olika ämnen: epoxiharts, lack, ML-2-harts, etc. Läckor kan elimineras under vakuum vid högt tryck, genom uppvärmning. Det kan impregneras genom nedsänkning i lack, under en kontinuerlig ström av lack, etc. Den elektriska apparaten som helhet hälls med en viss förening, av vilken det finns flera alternativ. Kvalitetsindikatorer är den dielektriska styrkan hos isoleringen, temperaturen på överhettningen av lindningen i driftläge och ett antal andra. Under testning av den tekniska processen för tillverkningsapparater är det nödvändigt att bestämma hur var och en av de listade faktorerna påverkar apparatens prestanda.

Exempel 3

Trolleybussdepåen serverar flera vagnbussrutter. Olika typer av vagnar fungerar för dem, och biljettuppsamlingen samlas in av 125 kontrollörer. Depåhanteringen är intresserad av frågan: hur man kan jämföra den ekonomiska prestanda för varje controller (intäkter) med hänsyn till olika rutter, olika typer av vagnbussar? Hur bestämmer man den ekonomiska genomförbarheten att släppa en viss typ av vagnbuss på en viss väg? Hur upprättar man rimliga krav för hur mycket intäkter som ledaren tar med på varje rutt i olika typer av vagnbussar?

Uppgiften att välja en metod är hur man får maximal information om påverkan på det slutliga resultatet av varje faktor, att bestämma de numeriska egenskaperna för en sådan effekt, deras tillförlitlighet till lägsta kostnad och på kortast möjliga tid. Lösa sådana problem tillåta metoder för analys av varians.

Envägsanalys

Studien syftar till att bedöma storleken på effekterna av ett visst fall på den analyserade granskningen. En annan uppgift med envägsanalys kan vara att jämföra två eller flera omständigheter med varandra för att bestämma skillnaden i deras effekt på återkallelsen. Om nollhypotesen avvisas är nästa steg den kvantitativa bedömningen och konstruktionen av konfidensintervall för de erhållna egenskaperna. I fallet när nollhypotes kan inte kastas, det accepteras vanligtvis och en slutsats dras om påverkan.

Univariat variansanalys kan bli en icke-parametrisk analog till Kraskel-Wallis rankningsmetod. Det utvecklades av den amerikanska matematikern William Kraskel och ekonomen Wilson Wallis 1952. Detta kriterium tilldelades för att testa nollhypotesen att effekterna på de studerade proverna är lika med okända men lika medelvärden. Antalet prover bör vara mer än två.

Jonkhier-kriteriet (Jonkhier-Terpstra) föreslogs oberoende av den holländska matematikern T.J. Terpstrom 1952 och den brittiska psykologen E.R. Jonkhier 1954. Det används när det är känt i förväg att de tillgängliga gruppgrupperna är beställda av tillväxten av påverkan av den studerade faktorn, som mäts i en ordinär skala.

M - Bartlett-testet, som föreslagits av den brittiska statistikern Maurice Stevenson Bartlett 1937, används för att testa nollhypotesen om jämlikhet av varianser i flera normala allmänna populationer från vilka de studerade proverna togs, i allmänhet med olika volymer (antalet prov för varje prov bör vara minst fyra ).

G är Cochren-testet, som upptäcktes av amerikanen William Gemmel Cochren 1941. Det används för att testa nollhypotesen att variationerna i normala allmänna populationer är lika för oberoende prover med lika stor volym.

Det icke-parametriska Levene-kriteriet, som föreslogs av den amerikanska matematikern Howard Levene 1960, är ​​ett alternativ till Bartlett-kriteriet under förhållanden där det inte finns någon säkerhet att de studerade proverna följer normalfördelningen.

1974 föreslog de amerikanska statistikerna Morton B. Brown och Alan B. Forsyth ett test (Brown-Forsythe-kriteriet), vilket skiljer sig något från Leuven-kriteriet.

Tvåfaktorsanalys

Tvåvägsvariansanalys används för kopplade normalt distribuerade prover. I praktiken används ofta komplexa tabeller för denna metod, särskilt de där varje cell innehåller en uppsättning data (upprepade mätningar) motsvarande fasta nivåvärden. Om de antaganden som krävs för att tillämpa tvåvägsvariansanalys inte uppfylls, används det icke-parametriska Friedman-rankningskriteriet (Friedman, Kendall och Smith) som utvecklats av den amerikanska ekonomen Milton Friedman i slutet av 1930. Detta kriterium är oberoende av typen av distribution.

Det antas endast att fördelningen av kvantiteterna är densamma och kontinuerlig, och de är oberoende av varandra. Vid testning av nollhypotesen presenteras utgången i form av en rektangulär matris där raderna motsvarar nivåerna för faktor B och kolumnerna motsvarar nivåer av A. Varje cell i tabellen (blocket) kan vara resultatet av mätningar av parametrar på ett objekt eller på en grupp av objekt med konstanta värden på nivåerna för båda faktorerna . I detta fall tillhandahålls motsvarande data som medelvärdena för en viss parameter för alla mätningar eller objekt i det studerade provet. För att tillämpa kriteriet för utgångsdata är det nödvändigt att växla från de direkta mätresultaten till deras rangordning. Rangordningen utförs för varje rad separat, det vill säga värdena beställs för varje fast värde.

Sidkriterium (L-kriterium), föreslaget av den amerikanska statistikern E. B. Page 1963, är avsett att testa nollhypotesen. För stora prover används sid-approximationen. De följer verkligheten i motsvarande nollhypoteser och följer den normala normalfördelningen. Om raderna i källtabellen har samma värden är det nödvändigt att använda genomsnittliga rangordningar. Dessutom kommer slutsatserna att vara sämre, desto mer kommer det att finnas antal sådana sammanfall.

Q är Cochren-kriteriet som föreslagits av V. Cohren 1937. Det används i fall där grupper av homogena individer utsätts för mer än två och för vilka två svar är möjliga - villkorat negativt (0) och villkorligt positivt (1) . Nollhypotesen består av lika effekter av påverkan. Tvåvägsvariansanalys gör det möjligt att fastställa förekomsten av behandlingseffekter, men gör det inte möjligt att fastställa för vilka kolumner denna effekt finns. För att lösa detta problem används metoden för flera Sheffe-ekvationer för kopplade prover.

Multivariat analys

Uppgiften med multivariat variansanalys uppstår när det är nödvändigt att bestämma påverkan av två eller flera förhållanden på en viss slumpvariabel. Studien tillhandahåller närvaron av en beroende slumpmässig variabel, mätt på skalan mellan skillnad eller relation, och flera oberoende variabler, som var och en uttrycks i skalan med namn eller i rang. Analys av variansdata är en ganska utvecklad del av matematisk statistik, som har många alternativ. Forskningskonceptet är vanligt för både enfaktor och flerfaktor. Kärnan är att den totala variansen är indelad i komponenter, vilket motsvarar en viss datagrupp. Varje datagrupp har sin egen modell.Här kommer vi bara att ta hänsyn till de grundläggande bestämmelserna som är nödvändiga för att förstå och praktiskt använda de mest använda alternativen.

Analys av varians mellan faktorer kräver en ganska försiktig inställning till insamling och presentation av inmatningsdata, och särskilt till tolkningen av resultaten. Till skillnad från en faktor, vars resultat kan godtyckligt placeras i en viss sekvens, kräver tvåfaktorsresultaten en mer komplex representation. En ännu svårare situation uppstår när det finns tre, fyra eller fler omständigheter. På grund av detta ingår sällan mer än tre (fyra) förhållanden i en modell. Ett exempel är förekomsten av resonans vid ett visst värde på den elektriska cirkelns kapacitans och induktans; manifestationen av en kemisk reaktion med en viss uppsättning element från vilka systemet är byggt; förekomsten av anomala effekter i komplexa system med ett visst sammanfall av omständigheter. Närvaron av interaktion kan grundläggande förändra systemets modell och ibland leda till en omprövning av arten av de fenomen som experimentanten har att göra med.

Multivariat variansanalys med upprepade experiment

Mätningsdata kan ofta grupperas inte av två, utan av ett större antal faktorer. Så om vi överväger analysen av variansen i livslängden på däcken på vagnens busshjul med hänsyn till omständigheterna (tillverkaren och rutten som däcken körs på), kan vi skilja på säsongen under vilken däcken körs (nämligen vinter- och sommardrift) som ett separat skick. Som ett resultat kommer vi att ha uppgiften att en tre-faktor metod.

Om det finns fler förhållanden är tillvägagångssättet detsamma som i tvåfaktorsanalysen. I alla fall försöker de förenkla modellen. Fenomenet interaktion mellan två faktorer manifesteras inte så ofta och trippelinteraktion inträffar endast i undantagsfall. De inkluderar den interaktion där det finns tidigare information och goda skäl att ta hänsyn till i modellen. Processen att isolera enskilda faktorer och ta hänsyn till dem är relativt enkel. Därför finns det ofta en önskan att lyfta fram fler omständigheter. Detta bör inte transporteras bort. Ju fler förhållanden, desto mindre pålitlig blir modellen och desto större är sannolikheten för fel. Modellen i sig, som innehåller ett stort antal oberoende variabler, blir tillräckligt svår att tolka och obekvämt för praktisk användning.

Den allmänna tanken om variansanalys

Variansanalys i statistik är en metod för att få resultat från observationer som är beroende av olika samtidigt befintliga omständigheter och bedöma deras effekter. En kontrollerad variabel som motsvarar metoden att påverka studieobjektet och under en viss tid erhåller ett visst värde kallas en faktor. De kan vara kvalitativa och kvantitativa. Nivåer av kvantitativa förhållanden får ett visst värde på en numerisk skala. Exempel är temperatur, tryck, mängd ämne. Kvalitativa faktorer är olika ämnen, olika tekniska metoder, enheter, fyllmedel. Deras nivåer motsvarar namnen.

Kvaliteten kan också inkludera typen av förpackningsmaterial, lagringsvillkor för doseringsformen. Det är också rationellt att tillskriva malningen av råmaterial, den bråkdelade sammansättningen av granuler som är av kvantitativ betydelse, men som är svåra att kontrollera om en kvantitativ skala används. Antalet kvalitetsfaktorer beror på typen av doseringsform, liksom de fysikaliska och tekniska egenskaperna för läkemedelssubstanserna. Exempelvis kan tabletter erhållas från kristallina substanser genom direkt komprimering. I det här fallet räcker det att välja ett val av glidande och smörjande ämnen.

Exempel på kvalitativa faktorer för olika typer av doseringsformer

• Tinkturer. Extraktionsmedlets sammansättning, typen av extraherare, metoden för framställning av råmaterial, produktionsmetoden, filtreringsmetoden.
• Extrakt (flytande, tjockt, torrt). Extraktionsmedlets sammansättning, extraktionsmetoden, typen av installation, metoden för att ta bort extraktionsmedlet och ballastämnen.
• Tabletter. Sammansättningen av hjälpämnen, fyllmedel, desintegreringsmedel, bindemedel, smörjmedel och glidmedel. En metod för att producera tabletter, typ av bearbetningsutrustning. Typ av skal och dess komponenter, filmbildare, pigment, färgämnen, mjukgörare, lösningsmedel.
• Injektionslösningar. Typ av lösningsmedel, filtreringsmetod, typ av stabilisatorer och konserveringsmedel, steriliseringsvillkor, metod för fyllning av ampuller.
• Stolpiller. Sammansättningen av suppositoriebasen, en metod för att producera suppositorier, fyllmedel, förpackning.
• Salva. Basens sammansättning, strukturella komponenter, metoden för beredning av salva, typ av utrustning, förpackning.
• Kapslar. Typ av skalmaterial, metod för framställning av kapslar, typ av mjukgörare, konserveringsmedel, färgämne.
• Liniment. Metoden för beredning, sammansättning, typ av utrustning, typ av emulgeringsmedel.
• Suspension. Typ av lösningsmedel, typ av stabilisator, dispersionsmetod.

Exempel på kvalitativa faktorer och deras nivåer studerade i tillverkningsprocessen för tabletter

• Bakpulver. Potatisstärkelse, vit lera, en blandning av natriumbikarbonat med citronsyra, basiskt magnesiumkarbonat.
• Bindande lösning. Vatten, stärkelsepasta, sockersirap, metylcellulosalösning, hydroxipropylmetylcellulosalösning, polyvinylpyrrolidonlösning, polyvinylalkohollösning.
• Glidande ämne. Aerosil, stärkelse, talk.
• Filler. Socker, glukos, laktos, natriumklorid, kalciumfosfat.
• Smörjmedel. Stearinsyra, polyetylenglykol, paraffin.

Analys av variansmodeller i studien av statens konkurrenskraft

Ett av de viktigaste kriterierna för att bedöma statens tillstånd, som bedömer nivån på dess välbefinnande och socioekonomisk utveckling, är konkurrenskraften, det vill säga en uppsättning fastigheter i den nationella ekonomin, som avgör statens förmåga att konkurrera med andra länder. Efter att ha fastställt statens plats och roll på den globala marknaden kan vi skapa en tydlig strategi för att säkerställa ekonomisk säkerhet internationellt, eftersom det är nyckeln till positiva relationer mellan Ryssland och alla aktörer på världsmarknaden: investerare, borgenärer, statliga regeringar.

För att jämföra ländernas konkurrenskraft rankas länderna med komplexa index som innehåller olika vägda indikatorer. Grunden för dessa index är de viktigaste faktorerna som påverkar den ekonomiska, politiska osv. Situationen. En uppsättning modeller för att studera statens konkurrenskraft tillhandahåller användning av multivariata statistiska analysmetoder (särskilt analys av varians (statistik), ekonometrisk modellering, beslutsfattande) och innehåller följande huvudsteg:

1. Bildande av ett system av indikatorer-indikatorer.
2. Bedömning och prognos av indikatorer för statens konkurrenskraft.
3. Jämförelse av indikatorer-indikatorer för staternas konkurrenskraft.

Tänk nu på innehållet i modellerna i vart och ett av stegen i detta komplex.

I det första steget Med hjälp av expertstudiemetoder bildas en berättigad uppsättning ekonomiska indikatorer-indikatorer för att utvärdera statens konkurrenskraft med hänsyn till detaljerna i dess utveckling baserat på internationella betyg och data från statistiska avdelningar som återspeglar tillståndet i systemet som helhet och dess processer.Valet av dessa indikatorer motiveras av behovet av att välja de som mest fullständigt ur praktikens synvinkel gör det möjligt att bestämma statens nivå, dess investeringsattraktivitet och möjligheterna till relativ lokalisering av befintliga potentiella och verkliga hot.

De viktigaste indikatorindikatorerna för internationella betygssystem är indexen:

1. Global konkurrenskraft (IGC).
2. Ekonomisk frihet (IES).
3. Mänsklig utveckling (HDI).
4. Uppfattning om korruption (KPI).
5. Interna och externa hot.
6. Potentialen för internationellt inflytande (IPMV).

Andra etappen Det tillhandahåller bedömning och prognos av indikatorer för statens konkurrenskraft enligt internationella betyg för de studerade 139 länderna i världen.

Tredje etappen ger en jämförelse av staternas konkurrenskraft med metoder korrelations- och regressionsanalys.

Med hjälp av resultaten av studien är det möjligt att bestämma arten av processerna i sin helhet och med enskilda komponenter i statens konkurrenskraft; testa hypotesen om faktorernas påverkan och deras förhållande till lämpliga signifikansnivå.

Genomförandet av den föreslagna uppsättningen modeller kommer inte bara att kunna bedöma den nuvarande situationen för staternas konkurrenskraft och investeringsattraktivitet, utan också att analysera ledningens svagheter, förhindra fel i felaktiga beslut och förhindra utvecklingen av en kris i staten.