Análisis de varianza multivariante

El análisis de varianza es un conjunto de métodos estadísticos diseñados para probar hipótesis sobre la relación entre ciertos signos y los factores que se estudian, que no tienen una descripción cuantitativa, así como para establecer el grado de influencia de los factores y su interacción. En la literatura especializada a menudo se llama ANOVA (del nombre en inglés Análisis de variaciones). Este método fue desarrollado por primera vez por R. Fisher en 1925.

Tipos y criterios de análisis de varianza.

Este método se utiliza para estudiar la relación entre los atributos cualitativos (nominales) y una variable cuantitativa (continua). De hecho, prueba la hipótesis de que la media aritmética de varias muestras es igual. Por lo tanto, puede considerarse como un criterio paramétrico para comparar los centros de varias muestras a la vez. Si utiliza este método para dos muestras, los resultados del análisis de varianza serán idénticos a los resultados de la prueba t-student. Sin embargo, a diferencia de otros criterios, este estudio nos permite estudiar el problema con más detalle.

El análisis de la varianza en las estadísticas se basa en la ley: la suma de los cuadrados de las desviaciones de la muestra combinada es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones intragrupales y la suma de los cuadrados de las desviaciones intergrupales. Para el estudio, la prueba de Fisher se utiliza para establecer la importancia de la diferencia entre las varianzas intergrupales de las varianzas intragrupales. Sin embargo, para esto, los requisitos previos necesarios son la distribución normal y la homocedasticidad (igualdad de varianzas) de las muestras. Distinguir entre análisis de varianza unidimensional (univariante) y multivariado (multivariado). El primero considera la dependencia de la cantidad estudiada en un atributo, el segundo, inmediatamente en muchos, y también le permite identificar la relación entre ellos.

Factores

Los factores se llaman circunstancias controladas que afectan el resultado final. Su nivel o método de procesamiento se denomina valor que caracteriza la manifestación específica de esta condición. Estos números generalmente se dan en una escala nominal o en serie. A menudo, los valores de salida se miden en escalas cuantitativas u ordinales. Entonces surge el problema de agrupar los datos de salida en una serie de observaciones, que corresponden aproximadamente a los mismos valores numéricos. Si se considera que el número de grupos es excesivamente grande, entonces el número de observaciones en ellos puede ser insuficiente para obtener resultados confiables. Si toma el número demasiado pequeño, esto puede conducir a la pérdida de características significativas del impacto en el sistema. La forma específica en que se agrupan los datos depende del volumen y la naturaleza de la variación en los valores. El número y el tamaño de los intervalos en el análisis unidireccional se determinan con mayor frecuencia por el principio de intervalos iguales o por el principio de frecuencias iguales.

Análisis de problemas de varianza.

Por lo tanto, hay casos en los que necesita comparar dos o más muestras. Es entonces cuando se recomienda el uso del análisis de varianza. El nombre del método indica que se extraen conclusiones del estudio de los componentes de la varianza. La esencia del estudio es que el cambio general en el indicador se divide en partes componentes que corresponden a la acción de cada factor individual. Considere una serie de problemas que resuelve un análisis típico de varianza.

Ejemplo 1

El taller cuenta con varias máquinas herramienta: máquinas automáticas que producen una pieza específica. El tamaño de cada parte es un valor aleatorio, que depende de la configuración de cada máquina y las desviaciones aleatorias que se producen durante la fabricación de piezas.Es necesario determinar si las máquinas están configuradas igualmente de acuerdo con las medidas de las dimensiones de las piezas.

Ejemplo 2

Durante la fabricación del aparato eléctrico, se utilizan varios tipos de papel aislante: condensador, eléctrico, etc. El aparato se puede impregnar con varias sustancias: resina epoxi, barniz, resina ML-2, etc. Las fugas se pueden eliminar al vacío a alta presión, por calentamiento. Se puede impregnar por inmersión en barniz, bajo una corriente continua de barniz, etc. El aparato eléctrico en su conjunto se vierte con un determinado compuesto, del cual hay varias opciones. Los indicadores de calidad son la resistencia dieléctrica del aislamiento, la temperatura de sobrecalentamiento del devanado en modo de funcionamiento y otros. Durante las pruebas del proceso tecnológico de fabricación de aparatos, es necesario determinar cómo cada uno de los factores enumerados afecta el rendimiento del aparato.

Ejemplo 3

El depósito de trolebuses sirve varias rutas de trolebuses. Varios tipos de trolebuses funcionan para ellos, y 125 controladores recaudan la colección de tarifas. La administración del depósito está interesada en la pregunta: ¿cómo comparar el desempeño económico de cada controlador (ingresos) teniendo en cuenta diferentes rutas, diferentes tipos de trolebuses? ¿Cómo determinar la viabilidad económica de liberar un tipo particular de trolebús en una ruta particular? ¿Cómo establecer requisitos razonables para la cantidad de ingresos que el conductor aporta en cada ruta en diferentes tipos de trolebuses?

La tarea de elegir un método es cómo obtener la máxima información sobre el impacto en el resultado final de cada factor, para determinar las características numéricas de dicho efecto, su confiabilidad al menor costo y en el menor tiempo posible. Resolver tales problemas permite métodos de análisis de varianza.

Análisis unidireccional

El estudio tiene como objetivo evaluar la magnitud del impacto de un caso particular en la revisión analizada. Otra tarea del análisis unidireccional puede ser comparar dos o más circunstancias entre sí para determinar la diferencia en su efecto en el recuerdo. Si se rechaza la hipótesis nula, el siguiente paso será la evaluación cuantitativa y la construcción de intervalos de confianza para las características obtenidas. En el caso cuando hipótesis nula no puede descartarse, generalmente se acepta y se saca una conclusión sobre la esencia de la influencia.

El análisis univariado de la varianza puede convertirse en un análogo no paramétrico del método de clasificación de Kraskel-Wallis. Fue desarrollado por el matemático estadounidense William Kraskel y el economista Wilson Wallis en 1952. Este criterio se asignó para probar la hipótesis nula de que los efectos en las muestras estudiadas son iguales a valores promedio desconocidos pero iguales. El número de muestras debe ser más de dos.

El criterio de Jonkhier (Jonkhier-Terpstra) fue propuesto independientemente por el matemático holandés T.J. Terpstrom en 1952 y el psicólogo británico E.R. Jonkhier en 1954. Se utiliza cuando se sabe de antemano que los grupos de resultados disponibles están ordenados por El crecimiento de la influencia del factor estudiado, que se mide en una escala ordinal.

M: la prueba de Bartlett, propuesta por el estadístico británico Maurice Stevenson Bartlett en 1937, se utiliza para probar la hipótesis nula sobre la igualdad de varianzas de varias poblaciones generales normales de las que se tomaron las muestras estudiadas, generalmente con volúmenes diferentes (el número de cada muestra debe ser al menos cuatro )

G es la prueba de Cochren, que fue descubierta por el estadounidense William Gemmel Cochren en 1941. Se utiliza para probar la hipótesis nula de que las variaciones de las poblaciones generales normales son iguales para muestras independientes de igual volumen.

El criterio de Levene no paramétrico, propuesto por el matemático estadounidense Howard Levene en 1960, es una alternativa al criterio de Bartlett en condiciones donde no hay certeza de que las muestras estudiadas obedezcan la distribución normal.

En 1974, los estadísticos estadounidenses Morton B. Brown y Alan B. Forsyth propusieron una prueba (criterio de Brown-Forsythe), que es algo diferente del criterio de Lovaina.

Análisis de dos factores.

El análisis de varianza bidireccional se utiliza para muestras acopladas distribuidas normalmente. En la práctica, a menudo se usan tablas complejas de este método, en particular aquellas en las que cada celda contiene un conjunto de datos (mediciones repetidas) correspondientes a valores de nivel fijo. Si no se cumplen los supuestos necesarios para aplicar el análisis de varianza bidireccional, entonces se utiliza el criterio no paramétrico de rango de Friedman (Friedman, Kendall y Smith) desarrollado por el economista estadounidense Milton Friedman a fines de 1930. Este criterio es independiente del tipo de distribución.

Solo se supone que la distribución de cantidades es la misma y continua, y que son independientes entre sí. Al probar la hipótesis nula, la salida se presenta en forma de una matriz rectangular en la que las filas corresponden a los niveles del factor B y las columnas corresponden a los niveles de A. Cada celda de la tabla (bloque) puede ser el resultado de mediciones de parámetros en un objeto o en un grupo de objetos a valores constantes de los niveles de ambos factores . En este caso, los datos correspondientes se suministran como los valores promedio de un determinado parámetro para todas las mediciones u objetos de la muestra estudiada. Para aplicar el criterio de los datos de salida, es necesario cambiar de los resultados de medición directa a su rango. La clasificación se lleva a cabo para cada fila por separado, es decir, los valores se ordenan para cada valor fijo.

El criterio de página (criterio L), propuesto por el estadístico estadounidense E. B. Page en 1963, tiene la intención de probar la hipótesis nula. Para muestras grandes, se utiliza la aproximación de página. Ellos, sujetos a la realidad de las hipótesis nulas correspondientes, obedecen a la distribución normal estándar. En el caso de que las filas de la tabla de origen tengan los mismos valores, es necesario usar rangos promedio. Además, la precisión de las conclusiones será peor, cuanto mayor sea el número de tales coincidencias.

Q es el criterio de Cochren propuesto por V. Cohren en 1937. Se utiliza en casos donde grupos de sujetos homogéneos están expuestos a más de dos y para los cuales son posibles dos respuestas: condicionalmente negativo (0) y condicionalmente positivo (1) . La hipótesis nula consiste en la igualdad de efectos de influencia. El análisis de varianza bidireccional permite determinar la existencia de efectos de procesamiento, pero no permite establecer para qué columnas existe este efecto. Para resolver este problema, se utiliza el método de múltiples ecuaciones de Sheffe para muestras acopladas.

Análisis multivariante.

La tarea del análisis de varianza multivariante surge cuando es necesario determinar la influencia de dos o más condiciones en una determinada variable aleatoria. El estudio prevé la presencia de una variable aleatoria dependiente, medida en la escala de diferencias o relaciones, y varias variables independientes, cada una de las cuales se expresa en la escala de nombres o en el rango. El análisis de datos de varianza es una sección bastante desarrollada de estadística matemática, que tiene muchas opciones. El concepto de investigación es común tanto para un solo factor como para múltiples factores. Su esencia es que la varianza total se divide en componentes, que corresponde a un determinado grupo de datos. Cada grupo de datos tiene su propio modelo.Aquí consideraremos solo las disposiciones básicas necesarias para la comprensión y el uso práctico de sus opciones más utilizadas.

El análisis de la varianza de los factores requiere una actitud bastante cuidadosa con respecto a la recopilación y presentación de datos de entrada, y especialmente a la interpretación de los resultados. A diferencia de un factor, cuyos resultados se pueden colocar arbitrariamente en una secuencia determinada, los resultados de dos factores requieren una representación más compleja. Una situación aún más difícil surge cuando hay tres, cuatro o más circunstancias. Debido a esto, más de tres (cuatro) condiciones rara vez se incluyen en un modelo. Un ejemplo es la aparición de resonancia a un cierto valor de la capacitancia e inductancia del círculo eléctrico; la manifestación de una reacción química con un cierto conjunto de elementos a partir del cual se construye el sistema; La aparición de efectos anómalos en sistemas complejos con una cierta coincidencia de circunstancias. La presencia de interacción puede cambiar fundamentalmente el modelo del sistema y, a veces, conducir a un replanteamiento de la naturaleza de los fenómenos con los que el experimentador está tratando.

Análisis de varianza multivariante con experimentos repetidos

Los datos de medición a menudo se pueden agrupar no por dos, sino por un mayor número de factores. Entonces, si consideramos el análisis de la variación de la vida útil de los neumáticos de las ruedas del trolebús teniendo en cuenta las circunstancias (el fabricante y la ruta en la que se operan los neumáticos), entonces podemos distinguir la temporada durante la cual se operan los neumáticos (es decir, la operación de invierno y verano) como una condición separada. Como resultado, tendremos la tarea de un método de tres factores.

Si hay más condiciones, el enfoque es el mismo que en el análisis de dos factores. En todos los casos, intentan simplificar el modelo. El fenómeno de la interacción de dos factores no se manifiesta tan a menudo, y la interacción triple ocurre solo en casos excepcionales. Incluyen la interacción para la que existe información previa y buenas razones para tenerla en cuenta en el modelo. El proceso de aislar factores individuales y tomarlos en cuenta es relativamente simple. Por lo tanto, a menudo existe el deseo de resaltar más circunstancias. Esto no debe dejarse llevar. Cuantas más condiciones, menos confiable se vuelve el modelo y mayor es la probabilidad de error. El modelo en sí, que incluye una gran cantidad de variables independientes, se vuelve lo suficientemente difícil de interpretar e inconveniente para su uso práctico.

La idea general del análisis de varianza.

El análisis de la varianza en las estadísticas es un método para obtener los resultados de las observaciones que dependen de varias circunstancias existentes simultáneamente y evaluar su impacto. Una variable controlada que corresponde al método de influir en el objeto de estudio y en un cierto período de tiempo adquiere un cierto valor se llama factor. Pueden ser cualitativos y cuantitativos. Los niveles de condiciones cuantitativas adquieren un cierto valor en una escala numérica. Ejemplos son temperatura, presión, cantidad de sustancia. Los factores cualitativos son diferentes sustancias, diferentes métodos tecnológicos, dispositivos, rellenos. Sus niveles corresponden a la escala de nombres.

La calidad también puede incluir el tipo de material de embalaje, las condiciones de almacenamiento de la forma de dosificación. También es racional atribuir el grado de molienda de las materias primas, la composición fraccional de los gránulos que son de importancia cuantitativa, pero que son difíciles de controlar si se utiliza una escala cuantitativa. El número de factores de calidad depende del tipo de forma de dosificación, así como de las propiedades físicas y tecnológicas de las sustancias medicinales. Por ejemplo, las tabletas se pueden obtener a partir de sustancias cristalinas por compresión directa. En este caso, es suficiente elegir sustancias deslizantes y lubricantes.

Ejemplos de factores cualitativos para varios tipos de formas de dosificación.

• Tinturas La composición del extractor, el tipo de extractor, el método de preparación de las materias primas, el método de producción, el método de filtrado.
• Extractos (líquidos, espesos, secos). La composición del extractante, el método de extracción, el tipo de instalación, el método de eliminación del extractante y las sustancias de lastre.
• Pastillas La composición de excipientes, rellenos, desintegrantes, aglutinantes, lubricantes y deslizantes. Un método para producir tabletas, tipo de equipo de procesamiento. Tipo de carcasa y sus componentes, formadores de película, pigmentos, colorantes, plastificantes, solventes.
• Soluciones de inyección. Tipo de disolvente, método de filtración, naturaleza de los estabilizadores y conservantes, condiciones de esterilización, método para llenar las ampollas.
• Supositorios. La composición de la base de supositorios, un método para producir supositorios, rellenos, empaques.
• Ungüentos La composición de la base, los componentes estructurales, el método de preparación de la pomada, el tipo de equipo, el embalaje.
• Cápsulas Tipo de material de cubierta, método para producir cápsulas, tipo de plastificante, conservante, colorante.
• Linimento El método de preparación, composición, tipo de equipo, tipo de emulsionante.
• Suspensiones Tipo de solvente, tipo de estabilizador, método de dispersión.

Ejemplos de factores cualitativos y sus niveles estudiados en el proceso de fabricación de tabletas.

• Polvo para hornear. Almidón de patata, arcilla blanca, una mezcla de bicarbonato de sodio con ácido cítrico, carbonato de magnesio básico.
• Solución de unión. Agua, pasta de almidón, jarabe de azúcar, solución de metilcelulosa, solución de hidroxipropilmetilcelulosa, solución de polivinilpirrolidona, solución de alcohol polivinílico.
• Sustancia deslizante. Aerosil, almidón, talco.
• Relleno Azúcar, glucosa, lactosa, cloruro de sodio, fosfato de calcio.
• Lubricante Ácido esteárico, polietilenglicol, parafina.

Análisis de modelos de varianza en el estudio de la competitividad estatal.

Uno de los criterios más importantes para evaluar el estado del estado, que evalúa el nivel de su bienestar y desarrollo socioeconómico, es la competitividad, es decir, un conjunto de propiedades inherentes a la economía nacional, que determinan la capacidad del estado para competir con otros países. Habiendo determinado el lugar y el papel del estado en el mercado global, podemos establecer una estrategia clara para asegurar seguridad economica internacionalmente, porque es la clave para las relaciones positivas entre Rusia y todos los actores del mercado mundial: inversores, acreedores, gobiernos estatales.

Para comparar el nivel de competitividad de los países, los países se clasifican utilizando índices complejos, que incluyen varios indicadores ponderados. La base de estos índices son los factores clave que afectan la situación económica, política, etc. Un conjunto de modelos para estudiar la competitividad del estado prevé el uso de métodos de análisis estadísticos multivariados (en particular, análisis de varianza (estadística), modelado econométrico, toma de decisiones) e incluye los siguientes pasos principales:

1. Formación de un sistema de indicadores-indicadores.
2. Evaluación y previsión de indicadores de competitividad estatal.
3. Comparación de indicadores-indicadores de la competitividad de los estados.

Ahora considere el contenido de los modelos de cada una de las etapas de este complejo.

En la primera etapa Con la ayuda de métodos de estudio de expertos, se forma un conjunto justificado de indicadores económicos-indicadores de evaluación de la competitividad del estado teniendo en cuenta los detalles de su desarrollo basados ​​en calificaciones internacionales y datos de departamentos estadísticos que reflejan el estado del sistema en su conjunto y sus procesos.La elección de estos indicadores se justifica por la necesidad de seleccionar aquellos que más plenamente desde el punto de vista de la práctica permitan determinar el nivel del estado, su atractivo para la inversión y las posibilidades de localización relativa de las amenazas potenciales y de la vida real existentes.

Los principales indicadores-indicadores de los sistemas internacionales de calificación son los índices:

1. Competitividad global (CIG).
2. Libertad Económica (IES).
3. Desarrollo Humano (IDH).
4. Percepciones de corrupción (IPC).
5. Amenazas internas y externas.
6. El potencial de influencia internacional (IPMV).

Segunda etapa Proporciona la evaluación y el pronóstico de los indicadores de competitividad estatal de acuerdo con las calificaciones internacionales de los 139 países del mundo estudiados.

Tercera etapa proporciona una comparación de la competitividad de los estados utilizando métodos análisis de correlación y regresión.

Utilizando los resultados del estudio, es posible determinar la naturaleza de los procesos en su conjunto y por componentes individuales de la competitividad del estado; Probar la hipótesis de la influencia de los factores y su relación con nivel de significancia

La implementación del conjunto de modelos propuestos permitirá no solo evaluar la situación actual del nivel de competitividad y el atractivo de inversión de los estados, sino también analizar las debilidades de la administración, prevenir errores de decisiones incorrectas y prevenir el desarrollo de una crisis en el estado.